इनवर्स फ़ंक्शन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a (अंश का x-गुणांक)

b (अंश का अचर पद)

c (हर का x-गुणांक)

d (हर का अचर पद)

f⁻¹ का x पर मूल्यांकन करें (वैकल्पिक)

यह f(x) = (a·x + b) / (c·x + d) को निरूपित करता है। किसी सरल रैखिक फ़ंक्शन f(x)=a·x+b के लिए c=0 और d=1 रखें।

परिणाम

प्रतिलोम फ़ंक्शन f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = (1x − 3) / (-0x + 2)

x और y को आपस में बदलकर, फिर y के लिए हल करके प्राप्त किया गया

चुने हुए x पर f⁻¹ का मूल्यांकन	1
अंश का x-गुणांक (d)	1
अंश का अचर पद (−b)	-3
हर का x-गुणांक (−c)	-0
हर का अचर पद (a)	2
सारणिक ad − bc (≠ 0 होना चाहिए)	2

इनवर्स फ़ंक्शन कैलकुलेटर क्या है?

प्रतिलोम फ़ंक्शन \(f^{-1}(x)\) वही "उलट देता है" जो \(f(x)\) करता है: यदि \(f(p) = q\) है, तो \(f^{-1}(q) = p\) होगा। यह कैलकुलेटर किसी भी रैखिक फ़ंक्शन \(f(x) = ax + b\) का, और अधिक व्यापक रूप से किसी भी परिमेय (Möbius) फ़ंक्शन \(f(x) = (ax + b)/(cx + d)\) का प्रतिलोम ज्ञात करता है। यह \(f^{-1}(x)\) का साफ़-सुथरा सूत्र देता है और आपके चुने हुए किसी भी \(x\) मान पर उस प्रतिलोम का मूल्यांकन कर सकता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने फ़ंक्शन \(f(x) = (a\cdot x + b) / (c\cdot x + d)\) को परिभाषित करने वाले चार गुणांक \(a\), \(b\), \(c\) और \(d\) दर्ज करें। यदि आपका फ़ंक्शन एक सरल रेखा है, जैसे \(f(x) = 2x + 3\), तो \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 0\) और \(d = 1\) रखें। चाहें तो "x पर मूल्यांकन करें" बॉक्स में कोई मान टाइप करें ताकि उस बिंदु पर प्रतिलोम का संख्यात्मक परिणाम मिल जाए। परिणाम पैनल में सांकेतिक प्रतिलोम के साथ-साथ उसके हर गुणांक दिखाए जाते हैं।

सूत्र की व्याख्या

\(f\) का प्रतिलोम निकालने के लिए, \(y = (ax + b)/(cx + d)\) लिखें, फिर \(x\) और \(y\) की भूमिकाएँ आपस में बदलकर \(x = (ay + b)/(cy + d)\) प्राप्त करें, और इसके बाद \(y\) के लिए हल करें। तिर्यक गुणन करने पर \(x(cy + d) = ay + b\) मिलता है, जिससे \(y(cx - a) = b - dx\) बनता है, और इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर निम्नलिखित प्राप्त होता है:

$$f^{-1}(x) = \dfrac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$

प्रतिलोम केवल तभी मौजूद होता है जब सारणिक \(ad - bc \neq 0\) हो; यदि यह शून्य है तो फ़ंक्शन या तो अचर है या एकैकी (one-to-one) नहीं है और उसका प्रतिलोम नहीं निकाला जा सकता।

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कोई फलन और उसका प्रतिलोम रेखा \(y = x\) के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(f(x) = (2x + 3)/(x + 4)\), यानी \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 4\)। इसका प्रतिलोम \(f^{-1}(x) = (4x - 3)/(-x + 2)\) है। \(x = 1\) पर जाँचें:

$$f^{-1}(1) = \frac{4 - 3}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1$$

और सचमुच

$$f(1) = \frac{2 + 3}{1 + 4} = \frac{5}{5} = 1$$

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\(x\) और \(y\) को आपस में बदलकर, फिर \(y\) के लिए हल करके प्रतिलोम ज्ञात करें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह द्विघात या त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का प्रतिलोम निकाल सकता है? नहीं — यह टूल \((ax + b)/(cx + d)\) रूप के रैखिक और परिमेय फ़ंक्शनों को कवर करता है, जो वह परिवार है जिसे एक ही बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था से हल किया जा सकता है।

सारणिक मुझे क्या बताता है? प्रतिलोम के अस्तित्व के लिए \(ad - bc\) का मान शून्य से भिन्न होना चाहिए। यदि यह शून्य के बराबर है, तो \(f\) एकैकी नहीं है और उसका कोई प्रतिलोम नहीं होता।

यदि मेरे x पर प्रतिलोम का हर शून्य हो जाए तो क्या होगा? तब उस बिंदु पर \(f^{-1}\) अपरिभाषित होता है (एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी); ऐसी स्थिति में कोई दूसरा \(x\) चुनें।