Calculadora de función inversa

Ingresar cálculo

a (coef. de x del numerador)

b (término independiente del numerador)

c (coef. de x del denominador)

d (término independiente del denominador)

Evaluar f⁻¹ en x (opcional)

Modela f(x) = (a·x + b) / (c·x + d). Para una función lineal sencilla f(x)=a·x+b, pon c=0 y d=1.

Resultados

Función inversa f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = (1x − 3) / (-0x + 2)

obtenida al intercambiar x e y y luego despejar y

f⁻¹ evaluada en el valor de x elegido	1
Coef. de x del numerador (d)	1
Término independiente del numerador (−b)	-3
Coef. de x del denominador (−c)	-0
Término independiente del denominador (a)	2
Determinante ad − bc (debe ser ≠ 0)	2

¿Qué es la calculadora de función inversa?

Una función inversa \(f^{-1}(x)\) «deshace» lo que hace la función \(f(x)\): si \(f(p) = q\), entonces \(f^{-1}(q) = p\). Esta calculadora obtiene la inversa de cualquier función lineal \(f(x) = ax + b\) o, de forma más general, de cualquier función racional (de Möbius) \(f(x) = (ax + b)/(cx + d)\). Te devuelve una fórmula limpia de \(f^{-1}(x)\) y, además, puede evaluar esa inversa en el valor de \(x\) que tú elijas.

Cómo se usa

Introduce los cuatro coeficientes \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) que definen tu función \(f(x) = (a\cdot x + b) / (c\cdot x + d)\). Si tu función es una recta sencilla, como \(f(x) = 2x + 3\), basta con poner \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 0\) y \(d = 1\). Si quieres, escribe un valor en la casilla «Evaluar en \(x\)» para obtener el resultado numérico de la inversa en ese punto. El panel de resultados muestra la inversa simbólica junto con cada uno de sus coeficientes.

La fórmula, paso a paso

Para invertir \(f\), escribe \(y = (ax + b)/(cx + d)\), intercambia los papeles de \(x\) e \(y\) para obtener \(x = (ay + b)/(cy + d)\) y luego despeja \(y\). Multiplicando en cruz se llega a \(x(cy + d) = ay + b\), es decir, \(y(cx - a) = b - dx\), que se reordena como

$$f^{-1}(x) = \dfrac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$

La inversa solo existe cuando el determinante \(ad - bc \neq 0\); si vale cero, la función es constante o no es inyectiva y no se puede invertir.

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Una función y su inversa son imágenes especulares respecto a la recta \(y = x\).

Ejemplo resuelto

Tomemos \(f(x) = (2x + 3)/(x + 4)\), de modo que \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 4\). La inversa es \(f^{-1}(x) = (4x - 3)/(-x + 2)\). Comprobemos en \(x = 1\):

$$f^{-1}(1) = \frac{4 - 3}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1$$

y, efectivamente, \(f(1) = (2 + 3)/(1 + 4) = 5/5 = 1\). ✓

Halla la inversa intercambiando \(x\) e \(y\), y luego despejando \(y\).

Preguntas frecuentes

¿Puede invertir funciones cuadráticas o trigonométricas? No: esta herramienta cubre funciones lineales y racionales de la forma \((ax + b)/(cx + d)\), que es la familia que se resuelve con un único despeje algebraico.

¿Qué me indica el determinante? El valor \(ad - bc\) debe ser distinto de cero para que exista la inversa. Si es igual a cero, \(f\) no es inyectiva y no tiene inversa.

¿Y si el denominador de la inversa se anula en mi valor de \(x\)? En ese caso \(f^{-1}\) no está definida en ese punto (hay una asíntota vertical); elige un valor de \(x\) diferente.