Ters Fonksiyon Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a (pay x-katsayısı)

b (pay sabiti)

c (payda x-katsayısı)

d (payda sabiti)

f⁻¹'i x değerinde hesapla (isteğe bağlı)

f(x) = (a·x + b) / (c·x + d) fonksiyonunu modeller. Basit bir doğrusal fonksiyon f(x)=a·x+b için c=0 ve d=1 alın.

Sonuç

Ters Fonksiyon f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = (1x − 3) / (-0x + 2)

x ile y'nin yeri değiştirilip y için çözülerek elde edilir

f⁻¹'in seçilen x değerindeki sonucu	1
Pay x-katsayısı (d)	1
Pay sabiti (−b)	-3
Payda x-katsayısı (−c)	-0
Payda sabiti (a)	2
Determinant ad − bc (≠ 0 olmalıdır)	2

Ters Fonksiyon Hesaplama Aracı nedir?

Ters fonksiyon \(f^{-1}(x)\), bir \(f(x)\) fonksiyonunun yaptığı işlemi "geri alır": eğer \(f(p) = q\) ise, \(f^{-1}(q) = p\) olur. Bu araç, herhangi bir doğrusal fonksiyonun \(f(x) = ax + b\) ya da daha genel olarak herhangi bir rasyonel (Möbius) fonksiyonun \(f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) tersini bulur. Size \(f^{-1}(x)\) için sade bir formül verir ve bu tersi seçtiğiniz herhangi bir \(x\) değerinde hesaplayabilir.

Nasıl kullanılır?

Fonksiyonunuzu \(f(x) = \dfrac{a\cdot x + b}{c\cdot x + d}\) biçiminde tanımlayan dört katsayıyı — \(a\), \(b\), \(c\) ve \(d\) — girin. Eğer fonksiyonunuz \(f(x) = 2x + 3\) gibi basit bir doğru ise \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 0\) ve \(d = 1\) değerlerini kullanın. İsterseniz "x değerinde hesapla" kutusuna bir değer yazarak tersin o noktadaki sayısal sonucunu görebilirsiniz. Sonuç panelinde simgesel ters formülün yanı sıra her bir katsayısı da gösterilir.

Formülün açıklaması

f'in tersini bulmak için önce \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\) yazın, ardından \(x\) ile \(y\)'nin yerlerini değiştirerek \(x = \dfrac{ay + b}{cy + d}\) elde edin ve \(y\)'yi yalnız bırakın. Çapraz çarpım yapıldığında \(x(cy + d) = ay + b\) olur; buradan \(y(cx - a) = b - dx\) ve son olarak $$y = \frac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$ elde edilir. Ters fonksiyon yalnızca determinant \(ad - bc \neq 0\) olduğunda vardır; bu değer sıfırsa fonksiyon ya sabittir ya da birebir değildir ve tersi alınamaz.

Reklam

Bir fonksiyon ve tersi, \(y = x\) doğrusuna göre birbirinin ayna görüntüsüdür.

Çözümlü örnek

\(f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 4}\) olsun, yani \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 4\). Tersi \(f^{-1}(x) = \dfrac{4x - 3}{-x + 2}\) olur. \(x = 1\) için kontrol edelim: $$f^{-1}(1) = \frac{4 - 3}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1$$ ve gerçekten de \(f(1) = \dfrac{2 + 3}{1 + 4} = \dfrac{5}{5} = 1\). ✓

\(x\) ile \(y\)'yi yer değiştirip \(y\)'yi çözerek tersi bulun.

Sıkça Sorulan Sorular

İkinci dereceden veya trigonometrik fonksiyonların tersini alabilir mi? Hayır — bu araç yalnızca \(\dfrac{ax + b}{cx + d}\) biçimindeki doğrusal ve rasyonel fonksiyonları kapsar; bunlar tek bir cebirsel düzenlemeyle çözülebilen fonksiyon ailesidir.

Determinant bana ne anlatır? Bir tersin var olması için \(ad - bc\) değeri sıfırdan farklı olmalıdır. Sıfıra eşitse \(f\) birebir değildir ve tersi yoktur.

Tersin paydası seçtiğim x'te sıfır olursa ne olur? Bu durumda \(f^{-1}\) o noktada tanımsızdır (düşey asimptot vardır); farklı bir \(x\) değeri seçin.