arcsn(x, k) nedir?
arcsn(x, k) biçiminde yazılan ters Jacobi eliptik sinüs fonksiyonu şu soruyu yanıtlar: bir x değeri ve bir k eliptik modülü verildiğinde, sn(u, k) = x sonucunu hangi u argümanı üretir? Buradaki sn, Jacobi eliptik sinüsüdür; sıradan sinüsün çift periyotlu bir genellemesidir ve sarkaç hareketi, doğrusal olmayan salıngaçlar, konform dönüşümler ve bazı diferansiyel denklemlerin çözümü gibi pek çok alanda karşımıza çıkar. Bu araç tamamen matematikseldir ve evrensel olarak geçerlidir.
Formül
arcsn(x, k), genlik phi = arcsin(x) noktasında değerlendirilen birinci tür eksik eliptik integralin ta kendisidir:
\(\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k)\) = 0'dan arcsin x'e \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2}\theta}\) integrali; eşdeğer biçimde 0'dan x'e \(dt / \sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2} t^{2})}\) integralidir. Bu hesaplama aracı modül gösterimi olan k'yı kullanır (yani parametre \(m = k^{2}\) olur). Sonuç, Carlson'ın simetrik formu olan $$\operatorname{arcsn}(x,k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^{2},\; 1 - k^{2}\,x^{2},\; 1\right)$$ ile hesaplanır; burada \(R_F\), hızla yakınsayan ikileme (duplication) algoritmasıyla değerlendirilir. Bu yöntem tam çift duyarlık sağlar ve kapalı biçimde kesindir.
Nasıl kullanılır?
x değerini -1 ile 1 arasında, k modülünü ise 0 ile 1 arasında girin ve u değerini okuyun. Duyarlık seçici yalnızca kaç basamağın gösterileceğini belirler; arka plandaki hesaplama çift duyarlıkla (yaklaşık 15 anlamlı basamak) çalışır.
Örnek çözüm
x = 0,7 ve k = 0,8 için: $$\operatorname{arcsn} = 0{,}7 \cdot R_F(0{,}51;\ 0{,}6864;\ 1) \approx 0{,}7 \cdot 1{,}18218 \approx 0{,}82753$$ Bir kontrol olarak, k = 0 olsaydı sonuç \(\arcsin(0{,}7) = 0{,}77540\) olurdu; k = 0,8 değeri integrandın paydasını 1'den küçük yaptığından integral büyür, dolayısıyla \(u > 0{,}7754\) olur ki bu da 0,8275 ile tutarlıdır.
Sık sorulan sorular
k = 0 olduğunda ne olur? İntegrand 1'e indirgenir, dolayısıyla \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\) olur.
k = 1 olduğunda ne olur? $$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{artanh}(x) = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ olur; x, \(\pm 1\)'e yaklaştıkça ıraksar.
k < 1 için arcsn(±1, k) nedir? Bu değer, birinci tür tam eliptik integral olan \(\pm K(k)\)'ya eşittir ve sonludur. Yalnızca k = 1 ile x = ±1 birleşimi ıraksar.
