什么是 arcsn(x, k)？
雅可比椭圆正弦的反函数记作 arcsn(x, k)，它要回答的问题是：给定数值 x 和椭圆模数 k，怎样的自变量 u 能使 sn(u, k) = x 成立？这里的 sn 指雅可比椭圆正弦，它是普通正弦函数的双周期推广，在单摆运动、非线性振子、共形映射以及某些微分方程的求解中频繁出现。本工具属于纯数学计算，普遍适用，不受任何地区或国别限制。
计算公式
arcsn(x, k) 恰好等于在幅角 phi = arcsin(x) 处取值的第一类不完全椭圆积分：
\(\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k)\)，即被积函数 \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2}\theta}\) 从 0 到 \(\arcsin x\) 的积分；等价地，也可写成 \(dt / \sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2} t^{2})}\) 从 0 到 x 的积分。本计算器采用模数约定 k（因此对应的参数为 \(m = k^{2}\)）。具体计算使用卡尔森（Carlson）对称形式 $$\operatorname{arcsn}(x,k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^{2},\; 1 - k^{2}\,x^{2},\; 1\right)$$其中 \(R_F\) 通过快速收敛的倍元算法求值。该方法可达到完整的双精度，并且是精确的闭式解。
使用方法
在 -1 到 1 之间输入 x，在 0 到 1 之间输入模数 k，即可读出 u 的结果。精度选择器仅控制显示的位数；底层计算始终以双精度运行（约 15 位有效数字）。
实例演算
当 x = 0.7、k = 0.8 时：$$\operatorname{arcsn} = 0.7 \cdot R_F(0.51,\ 0.6864,\ 1) \approx 0.7 \cdot 1.18218 \approx 0.82753$$可做一个简单的合理性检验：若 k = 0，结果应为 \(\arcsin(0.7) = 0.77540\)；而 k = 0.8 会使被积函数的分母小于 1，从而令积分值变大，因此 \(u > 0.7754\)，这与 0.8275 的结果相符。
常见问题
当 k = 0 时会怎样？被积函数退化为 1，于是 \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\)。
当 k = 1 时会怎样？$$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{artanh}(x) = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$当 x 趋近 \(\pm 1\) 时该值发散。
当 k < 1 时 arcsn(±1, k) 等于多少？它等于 \(\pm K(k)\)，即第一类完全椭圆积分，是一个有限值。只有 k = 1 与 x = ±1 同时出现的情形才会发散。
