¿Qué es arcsn(x, k)?
La función seno elíptico de Jacobi inversa, escrita arcsn(x, k), responde a esta pregunta: dado un valor x y un módulo elíptico k, ¿qué argumento u produce sn(u, k) = x? Aquí sn es el seno elíptico de Jacobi, una generalización doblemente periódica del seno ordinario que aparece por todas partes en la teoría del movimiento del péndulo, los osciladores no lineales, las transformaciones conformes y la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales. Esta herramienta es matemática pura y tiene aplicación universal.
La fórmula
arcsn(x, k) es exactamente la integral elíptica incompleta de primera especie evaluada en la amplitud phi = arcsin(x):
$$\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k) = \int_0^{\arcsin x} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}$$ de forma equivalente, $$\int_0^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}.$$ Esta calculadora utiliza el convenio del módulo \(k\) (de modo que el parámetro es \(m = k^2\)). Se calcula con la forma simétrica de Carlson $$\operatorname{arcsn}(x, k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^2,\; 1 - k^2 x^2,\; 1\right),$$ donde \(R_F\) se evalúa con el algoritmo de duplicación, de convergencia rápida. Esto proporciona doble precisión completa y es exacto en forma cerrada.
Cómo usarla
Introduce \(x\) en el intervalo de -1 a 1 y el módulo \(k\) en el intervalo de 0 a 1, y obtendrás \(u\) directamente. El selector de precisión controla únicamente cuántos dígitos se muestran; el cálculo subyacente se ejecuta en doble precisión (unas 15 cifras significativas).
Ejemplo resuelto
Para \(x = 0{,}7\) y \(k = 0{,}8\): $$\operatorname{arcsn} = 0{,}7 \cdot R_F(0{,}51,\, 0{,}6864,\, 1) \approx 0{,}7 \cdot 1{,}18218 \approx 0{,}82753.$$ Como comprobación rápida, con \(k = 0\) el resultado sería \(\arcsin(0{,}7) = 0{,}77540\); dado que \(k = 0{,}8\) hace que el denominador del integrando sea menor que 1, la integral crece, así que \(u > 0{,}7754\), lo cual concuerda con 0,8275.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando k = 0? El integrando se reduce a 1, de modo que \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\).
¿Qué ocurre cuando k = 1? $$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{atanh}(x) = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right),$$ que diverge cuando \(x\) se aproxima a \(\pm 1\).
¿Cuánto vale arcsn(±1, k) para k < 1? Es igual a \(\pm K(k)\), la integral elíptica completa de primera especie, un valor finito. Solo la combinación \(k = 1\) con \(x = \pm 1\) diverge.
