¿Qué es la función nd de Jacobi?
Las funciones elípticas de Jacobi sn, cn y dn generalizan las funciones trigonométricas habituales y surgen al invertir la integral elíptica incompleta de primera especie. La función nd(u, k) no es más que la inversa de la función delta de la amplitud: \(\operatorname{nd}(u,k) = \frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}\). Depende de un argumento real u y del módulo elíptico k (conviene recordar que se trata del módulo, no del parámetro \(m = k^{2}\) ni del ángulo modular).
Cómo usar esta calculadora
Introduce el argumento u (cualquier número real) y el módulo k (normalmente \(0 \le k \le 1\)). La calculadora devuelve nd(u, k) con unas diez cifras significativas, junto con los valores intermedios dn(u, k) y sn(u, k).
La fórmula explicada
Si tomamos \(m = k^{2}\), la amplitud es \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) y $$\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u,\,k)}.$$ Calculamos sn usando la media aritmético-geométrica (MAG) y una transformación descendente de Landen: se construyen las sucesiones a, b, c con \(a_{0}=1\), \(b_{0}=\sqrt{1-m}\), \(c_{0}=k\), se itera la MAG hasta que c resulta despreciable y luego se desciende el ángulo \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) hasta el valor inicial. Por último, $$\operatorname{nd} = \frac{1}{\operatorname{dn}}.$$
Ejemplo resuelto
Para \(u = 0{,}5\) y \(k = 0{,}5\) (\(m = 0{,}25\)): \(\operatorname{sn} \approx 0{,}479262\), de modo que $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}25\cdot 0{,}479262^{2}} \approx 0{,}970864$$ y $$\operatorname{nd} = \frac{1}{0{,}970864} \approx 1{,}0300.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando k = 0? \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) para todo u, así que \(\operatorname{nd}(u, 0) = 1\) exactamente.
¿Y cuando k = 1? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}\), por lo que \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\).
¿Puede quedar nd sin definir? Para \(0 \le k < 1\), dn está acotada inferiormente por \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\), de manera que nd siempre es finita. Solo cuando k = 1 la función dn tiende a 0 (a medida que \(u \to \pm\infty\)), y entonces nd crece sin límite.
