Qu'est-ce que la fonction nd de Jacobi ?
Les fonctions elliptiques de Jacobi sn, cn et dn généralisent les fonctions trigonométriques usuelles et naissent de l'inversion de l'intégrale elliptique incomplète de première espèce. La fonction nd(u, k) n'est autre que l'inverse de la fonction delta-amplitude : \(\operatorname{nd}(u,k) = \frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}\). Elle dépend d'un argument réel u et du module elliptique k (attention : il s'agit bien du module, et non du paramètre \(m = k^{2}\) ni de l'angle modulaire).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'argument u (n'importe quel nombre réel) et le module k (généralement 0 ≤ k ≤ 1). Le calculateur renvoie nd(u, k) avec une précision d'environ dix chiffres significatifs, accompagné des valeurs intermédiaires dn(u, k) et sn(u, k).
La formule expliquée
En posant \(m = k^{2}\), l'amplitude vaut \(\varphi = \operatorname{am}(u, k)\) et $$\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}.$$ On évalue sn à l'aide de la moyenne arithmético-géométrique (AGM) et d'une transformation de Landen descendante : on construit les suites a, b, c avec \(a_{0}=1\), \(b_{0}=\sqrt{1-m}\), \(c_{0}=k\), on itère l'AGM jusqu'à ce que c devienne négligeable, puis on redescend l'angle \(\varphi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) étape par étape. On obtient enfin \(\operatorname{nd} = 1 / \operatorname{dn}\).
Exemple détaillé
Pour \(u = 0{,}5\) et \(k = 0{,}5\) (\(m = 0{,}25\)) : \(\operatorname{sn} \approx 0{,}479262\), donc $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}25\cdot 0{,}479262^{2}} \approx 0{,}970864$$ et $$\operatorname{nd} = \frac{1}{0{,}970864} \approx 1{,}0300.$$
FAQ
Que se passe-t-il lorsque k = 0 ? \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) pour tout u, si bien que \(\operatorname{nd}(u, 0) = 1\) exactement.
Et lorsque k = 1 ? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}\), donc \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\).
La fonction nd peut-elle être indéfinie ? Pour \(0 \le k < 1\), dn est minorée par \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\), donc nd reste toujours finie. Ce n'est qu'en \(k = 1\) que dn tend vers 0 (lorsque \(u \to \pm\infty\)) : nd croît alors sans limite.
