什麼是 Jacobi nd 函數？
Jacobi 橢圓函數 sn、cn 與 dn 是一般三角函數的推廣，源自對第一類不完全橢圓積分取反函數。其中的 nd(u, k) 其實就是 delta 振幅函數的倒數：\(\operatorname{nd}(u,k) = \frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}\)。它取決於實數參數 u 與橢圓模數 k（請特別留意，這裡指的是「模數」k，而非參數 \(m = k^{2}\)，也不是模角）。
如何使用本計算器
輸入參數 u（任意實數）與模數 k（通常落在 \(0 \le k \le 1\) 之間）。計算器會回傳精確至約十位有效數字的 nd(u, k)，並一併列出中間值 dn(u, k) 與 sn(u, k)。
公式說明
令 \(m = k^{2}\)，振幅為 \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\)，而 \(\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}\)。我們以算術—幾何平均（AGM）搭配下降 Landen 變換來計算 sn：先建立數列 a、b、c，其中 \(a_{0}=1\)、\(b_{0}=\sqrt{1-m}\)、\(c_{0}=k\)，反覆進行 AGM 疊代直到 c 小到可忽略，接著將角度 \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) 逐步下降還原。最後得到
$$\operatorname{nd}(u,k) = \frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} = \frac{1}{\sqrt{1 - k^{2}\,\operatorname{sn}^{2}(u,\,k)}}$$
實例演算
當 \(u = 0.5\)、\(k = 0.5\)（即 \(m = 0.25\)）時：\(\operatorname{sn} \approx 0.479262\)，因此
$$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25\cdot 0.479262^{2}} \approx 0.970864$$於是 \(\operatorname{nd} = \frac{1}{0.970864} \approx 1.0300\)。
常見問題
當 k = 0 時會怎樣？對任意 u 都有 \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\)，所以 \(\operatorname{nd}(u, 0)\) 恰好等於 1。
那 k = 1 呢？此時 \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}\)，因此 \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\)。
nd 會有未定義的情況嗎？當 \(0 \le k < 1\) 時，dn 的下界為 \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\)，所以 nd 必為有限值。只有在 k = 1 時，dn 才會隨 \(u \rarr \pm\infty\) 趨近於 0，此時 nd 會無限增大。
