物理擺計算器

輸入計算

轉動慣量 I（kg·m²）

質量 m（kg）

樞軸至質心距離 d（m）

重力加速度 g（m/s²）

結果

擺動週期

1.8313

秒／每次擺動

頻率	0.5461 Hz

什麼是物理擺？

物理擺是指任何繞著固定水平軸、在重力作用下擺動的剛體。與單擺不同，它的質量是分散分布在整個物體上，而非集中於單一質點。常見例子包括擺動的細桿、時鐘的擺錘，或是懸掛的招牌。它的運動取決於物體繞樞軸的轉動慣量，以及質心所在的位置。

物理擺繞固定樞軸擺動，質量分布於整個剛體。

計算公式

在小角度擺動的情況下，週期為：

$$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\text{Inertia } I}{\text{Mass } m \cdot \text{Gravity } g \cdot \text{Distance } d}}$$

其中 \(I\) 為繞樞軸轉動軸的轉動慣量（kg·m²），\(m\) 為總質量（kg），\(g\) 為重力加速度（地球上為 9.81 m/s²），\(d\) 則是樞軸到質心的距離（m）。頻率則可由 \(f = 1/T\) 直接求得。

週期取決於轉動慣量 \(I\)、質量 \(m\)、樞軸到質心的距離 \(d\) 以及重力 \(g\)。

如何使用本計算器

請依序輸入繞樞軸的轉動慣量、物體質量、樞軸到質心的距離，以及當地的重力加速度。計算器會回傳以秒為單位的週期，以及以赫茲（Hz）為單位的頻率。請特別注意：I 必須是繞「實際擺動軸」量測的轉動慣量。若你手邊只有繞質心的轉動慣量，可運用平行軸定理（\(I = I_{cm} + m \cdot d^2\)）換算。

範例計算

假設 \(I = 0.5\) kg·m²、\(m = 2\) kg、\(d = 0.3\) m、\(g = 9.81\) m/s²。則 \(m \cdot g \cdot d = 2 \times 9.81 \times 0.3 = 5.886\)。因此 $$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{0.5}{5.886}} = 2\pi \times \sqrt{0.084947} = 2\pi \times 0.29146 \approx 1.8313 \text{ 秒}$$ 對應的頻率約為 0.546 Hz。

常見問題

這個公式適用於大角度擺動嗎？不適用。此公式假設為小角度擺動（僅數度範圍）。當擺幅較大時，實際週期會變得更長。

物理擺與單擺有什麼不同？單擺使用 \(T = 2\pi \sqrt{L/g}\)，只適用於懸掛在無質量細線上的質點。物理擺則將這個概念推廣到具有體積與質量分布的剛體。

該如何取得繞樞軸的轉動慣量？可使用平行軸定理：將 \(m \cdot d^2\) 加到繞質心的轉動慣量上即可。