Qu'est-ce qu'un pendule pesant ?
Un pendule pesant (ou pendule composé) est un corps rigide qui oscille autour d'un axe horizontal fixe sous l'effet de la gravité. À la différence du pendule simple, sa masse est répartie dans tout le volume du corps plutôt que concentrée en un seul point. On peut citer comme exemples une tige qui balance, le balancier d'une horloge ou une enseigne suspendue. Le mouvement dépend du moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation et de la position de son centre de masse.
La formule
Pour des oscillations de faible amplitude, la période s'écrit :
$$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\text{Inertie } I}{\text{Masse } m \cdot \text{Gravité } g \cdot \text{Distance } d}}$$
où I désigne le moment d'inertie par rapport à l'axe du pivot (kg·m²), m la masse totale (kg), g l'accélération de la pesanteur (9,81 m/s² sur Terre) et d la distance entre le pivot et le centre de masse (m). La fréquence s'obtient simplement par \(f = 1/T\).
Comment utiliser le calculateur
Saisissez le moment d'inertie par rapport au pivot, la masse du corps, la distance entre le pivot et le centre de masse, ainsi que la gravité locale. Le calculateur affiche la période en secondes et la fréquence en hertz. Veillez à exprimer I par rapport à l'axe d'oscillation réel : utilisez le théorème de Huygens (théorème des axes parallèles, \(I = I_{cm} + m \cdot d^2\)) si vous ne connaissez que l'inertie par rapport au centre de masse.
Exemple résolu
Supposons \(I = 0{,}5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\), \(m = 2\ \text{kg}\), \(d = 0{,}3\ \text{m}\) et \(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\). On a alors \(m \cdot g \cdot d = 2 \times 9{,}81 \times 0{,}3 = 5{,}886\). D'où $$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{0{,}5}{5{,}886}} = 2\pi \times \sqrt{0{,}084947} = 2\pi \times 0{,}29146 \approx 1{,}8313 \text{ seconde},$$ soit une fréquence d'environ 0,546 Hz.
FAQ
La formule est-elle valable pour les grandes amplitudes ? Non : elle suppose de petites oscillations (quelques degrés). Au-delà, l'amplitude allonge la période réelle.
Quelle est la différence avec un pendule simple ? Le pendule simple obéit à \(T = 2\pi \sqrt{L/g}\), une relation valable uniquement pour une masse ponctuelle suspendue à un fil sans masse. Le pendule pesant généralise ce cas aux corps rigides étendus.
Comment obtenir le moment d'inertie par rapport au pivot ? Appliquez le théorème de Huygens : ajoutez \(m \cdot d^2\) à l'inertie par rapport au centre de masse.
