Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule la période d'oscillation exacte d'un pendule simple idéalisé (une masse ponctuelle au bout d'un fil sans masse et inextensible) pour n'importe quelle amplitude de lâcher, jusqu'à 180 degrés. La formule classique des manuels \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) n'est que l'approximation aux petits angles : elle devient sensiblement fausse lorsque l'amplitude augmente. Ici, nous utilisons le résultat non linéaire complet fondé sur l'intégrale elliptique complète de première espèce, de sorte que la valeur reste précise même pour de grandes oscillations.
Comment l'utiliser
Saisissez trois valeurs : l'angle de lâcher α en degrés (l'angle maximal par rapport à la verticale auquel la masse est lâchée sans vitesse initiale), la longueur du fil l en mètres et l'accélération de la pesanteur g en m/s² (valeur par défaut 9,80665, la pesanteur standard). Lancez le calcul pour obtenir la période T en secondes correspondant à un aller-retour complet. Le tableau de résultats affiche également la valeur de l'intégrale elliptique \(K(k)\), le module \(k\) et la période aux petits angles, à titre de comparaison.
La formule expliquée
La période exacte vaut $$T = 4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;K(k)$$ où \(K\) désigne l'intégrale elliptique complète de première espèce de module \(k = \sin(\alpha/2)\). Nous évaluons \(K(k)\) sans table de valeurs grâce à la moyenne arithmético-géométrique (MAG, ou AGM en anglais) : $$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot\operatorname{agm}\!\left(1,\sqrt{1-k^2}\right)}$$ La MAG converge de façon quadratique : 5 à 8 itérations suffisent pour atteindre la précision machine. Lorsque \(\alpha \to 0\), \(K \to \pi/2\) et \(T\) se ramène à la formule classique \(2\pi\sqrt{l/g}\).
Exemple résolu
Pour \(\alpha = 30°\), \(l = 1\ \text{m}\), \(g = 9{,}80665\) : \(k = \sin(15°) = 0{,}258819\), \(\operatorname{agm}(1, \cos 15°) = 0{,}982889\), d'où \(K = 1{,}598142\) et \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\). On obtient donc $$T = 4 \times 0{,}319330 \times 1{,}598142 \approx 2{,}0415\ \text{s}$$ soit environ 1,76 % de plus que la valeur aux petits angles de 2,0062 s. À \(\alpha = 90°\), la période grimpe à environ 2,3685 s, soit à peu près 18 % au-dessus de l'estimation aux petits angles.
FAQ
Pourquoi la période dépend-elle de l'amplitude ? Le couple de rappel du pendule est proportionnel à \(\sin\theta\), et non à \(\theta\). Ce n'est qu'aux petits angles que \(\sin\theta \approx \theta\), ce qui donne un mouvement harmonique simple dont la période est indépendante de l'amplitude. Pour de plus grandes oscillations, le mouvement devient anharmonique et plus lent.
Que se passe-t-il près de 180 degrés ? Lorsque \(\alpha\) approche 180°, le module \(k\) tend vers 1 et \(K(k)\) diverge : la période tend alors vers l'infini, la masse s'attardant de plus en plus longtemps au voisinage du sommet inversé instable. Les valeurs égales ou supérieures à 180° sont considérées comme hors plage.
Le frottement est-il pris en compte ? Non. Il s'agit du pendule idéalisé sans frottement : la résistance de l'air, la masse du fil et la taille de la masse sont négligées. Un pendule réel perd un peu d'énergie et d'amplitude à chaque cycle.
