Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет точный период колебаний идеального математического маятника (точечный груз на невесомой нерастяжимой нити) при любой амплитуде вплоть до 180 градусов. Привычная школьная формула \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) — это лишь приближение для малых углов; при широком размахе она заметно врёт. Здесь используется полное нелинейное решение на основе полного эллиптического интеграла первого рода, поэтому результат остаётся точным даже при больших амплитудах.
Как пользоваться
Введите три значения: угол отклонения α в градусах (максимальный угол от вертикали, при котором груз отпускают из состояния покоя), длину нити l в метрах и ускорение свободного падения g в м/с² (по умолчанию 9,80665 — стандартное значение). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить период T в секундах для одного полного колебания «туда и обратно». В таблице результатов также показаны значение эллиптического интеграла K(k), модуль k и период в приближении малых углов — для сравнения.
Разбор формулы
Точный период равен $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$ где K — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем \(k = \sin(\alpha/2)\). Мы вычисляем \(K(k)\) без обращения к таблицам — через арифметико-геометрическое среднее (АГС): $$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot \operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})}$$ АГС сходится квадратично, поэтому 5–8 итераций достаточно для машинной точности. При \(\alpha \to 0\) имеем \(K \to \pi/2\), и формула сводится к классической \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\).
Пример расчёта
Возьмём \(\alpha = 30^\circ\), \(l = 1\) м, \(g = 9{,}80665\): \(k = \sin(15^\circ) = 0{,}258819\), \(\operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0{,}982889\), отсюда \(K = 1{,}598142\) и \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\). Тогда $$T = 4 \times 0{,}319330 \times 1{,}598142 \approx 2{,}0415 \text{ с}$$ — примерно на 1,76% дольше, чем приближённое значение 2,0062 с для малых углов. При \(\alpha = 90^\circ\) период вырастает до приблизительно 2,3685 с, то есть примерно на 18% выше оценки для малых углов.
Частые вопросы
Почему период зависит от амплитуды? Возвращающий момент у маятника пропорционален \(\sin\theta\), а не \(\theta\). Только при малых углах \(\sin\theta \approx \theta\), и тогда движение становится простым гармоническим с периодом, не зависящим от амплитуды. При больших размахах колебания ангармоничны и происходят медленнее.
Что происходит вблизи 180 градусов? Когда \(\alpha\) приближается к 180°, модуль \(k\) стремится к 1, а \(K(k)\) расходится, поэтому период стремится к бесконечности — груз всё дольше «зависает» возле неустойчивой верхней точки. Значения 180° и больше считаются выходящими за допустимый диапазон.
Учитывается ли трение? Нет. Это идеальный маятник без трения; сопротивление воздуха, масса нити и размер груза не учитываются. Реальные маятники с каждым колебанием теряют немного энергии и амплитуды.
