Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el periodo de oscilación exacto de un péndulo simple idealizado (una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa) para cualquier amplitud de partida de hasta 180 grados. La fórmula clásica de los libros de texto, \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\), es solo la aproximación para ángulos pequeños y se desvía de forma apreciable cuando la oscilación se hace más amplia. Aquí empleamos el resultado no lineal completo, basado en la integral elíptica completa de primera especie, de modo que el valor sigue siendo preciso incluso en oscilaciones grandes.
Cómo utilizarla
Introduce tres valores: el ángulo de partida α en grados (el ángulo máximo respecto a la vertical desde el que se suelta la masa partiendo del reposo), la longitud del hilo l en metros y la aceleración de la gravedad g en m/s² (por defecto 9,80665, la gravedad estándar). Pulsa calcular para obtener el periodo T en segundos correspondiente a un ciclo completo de ida y vuelta. La tabla de resultados muestra también el valor de la integral elíptica \(K(k)\), el módulo \(k\) y el periodo de ángulo pequeño para comparar.
La fórmula explicada
El periodo exacto es $$T = 4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;K(k)$$ donde \(K\) es la integral elíptica completa de primera especie con módulo \(k = \sin(\alpha/2)\). Evaluamos \(K(k)\) sin recurrir a tablas mediante la media aritmético-geométrica (AGM): $$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot\operatorname{agm}(1,\,\sqrt{1-k^2})}$$ La AGM converge de forma cuadrática, por lo que bastan entre 5 y 8 iteraciones para alcanzar la precisión de máquina. Cuando \(\alpha \to 0\), \(K \to \pi/2\) y \(T\) se reduce a la clásica \(2\pi\sqrt{l/g}\).
Ejemplo resuelto
Para \(\alpha = 30^\circ\), \(l = 1\ \text{m}\), \(g = 9{,}80665\): \(k = \sin(15^\circ) = 0{,}258819\), \(\operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0{,}982889\), de donde \(K = 1{,}598142\) y \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\). Así, $$T = 4 \times 0{,}319330 \times 1{,}598142 \approx 2{,}0415\ \text{s}$$ es decir, un 1,76 % más que el valor de ángulo pequeño de 2,0062 s. Con \(\alpha = 90^\circ\) el periodo crece hasta unos 2,3685 s, aproximadamente un 18 % por encima de la estimación de ángulo pequeño.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el periodo depende de la amplitud? El par recuperador del péndulo es proporcional a \(\sin\theta\), no a \(\theta\). Solo para ángulos pequeños se cumple \(\sin\theta \approx \theta\), dando lugar a un movimiento armónico simple cuyo periodo no depende de la amplitud. En oscilaciones más amplias el movimiento es anarmónico y más lento.
¿Qué ocurre cerca de los 180 grados? A medida que \(\alpha\) se acerca a \(180^\circ\), el módulo \(k\) tiende a 1 y \(K(k)\) diverge, por lo que el periodo tiende a infinito: la masa permanece cada vez más tiempo cerca del punto de equilibrio inestable invertido. Los valores iguales o superiores a 180° se consideran fuera de rango.
¿Incluye el rozamiento? No. Se trata del péndulo idealizado sin rozamiento; se desprecian la resistencia del aire, la masa del hilo y el tamaño de la masa. Los péndulos reales pierden algo de energía y de amplitud en cada ciclo.
