Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, ideal bir basit sarkacın (kütlesiz ve uzamayan bir ipe bağlı noktasal kütle) kesin salınım periyodunu, 180 dereceye kadar herhangi bir bırakma genliği için hesaplar. Ders kitaplarında sıkça gördüğümüz \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) formülü yalnızca küçük açı yaklaşımıdır; salınım genişledikçe bu formül belirgin biçimde sapmaya başlar. Burada ise birinci tür tam eliptik integrale dayanan, doğrusal olmayan tam çözümü kullanıyoruz; böylece sonuç geniş salınımlarda bile doğru kalır.
Nasıl kullanılır?
Üç değer girin: dereceler cinsinden bırakma açısı α (sarkaç topunun durağan haldeyken serbest bırakıldığı, düşeyle yaptığı en büyük açı), metre cinsinden ip uzunluğu \(l\) ve m/s² cinsinden yerçekimi ivmesi \(g\) (varsayılan değer 9,80665, yani standart yerçekimi). Hesapla düğmesine basın; ileri-geri tek bir tam salınım için periyot \(T\), saniye cinsinden karşınıza çıkacaktır. Sonuç tablosunda ayrıca eliptik integral değeri \(K(k)\), modül \(k\) ve karşılaştırma için küçük açı periyodu da gösterilir.
Formülün açıklaması
Kesin periyot $$T = 4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;K(k)$$ ile verilir; burada \(K\), modülü \(k = \sin(\alpha/2)\) olan birinci tür tam eliptik integraldir. \(K(k)\)'yi tablo kullanmadan, aritmetik-geometrik ortalama (AGM) yöntemiyle hesaplıyoruz: $$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot\operatorname{agm}\left(1, \sqrt{1-k^2}\right)}.$$ AGM kareli (quadratik) hızla yakınsadığından, 5-8 yineleme makine hassasiyetine ulaşmaya yeter. \(\alpha \to 0\) olduğunda \(K \to \pi/2\) olur ve \(T\), klasik \(2\pi\sqrt{l/g}\) ifadesine indirgenir.
Çözümlü örnek
\(\alpha = 30^\circ\), \(l = 1\,\text{m}\), \(g = 9{,}80665\) için: \(k = \sin(15^\circ) = 0{,}258819\), \(\operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0{,}982889\), dolayısıyla \(K = 1{,}598142\) ve \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\). Buradan $$T = 4 \times 0{,}319330 \times 1{,}598142 \approx 2{,}0415\ \text{s}$$ — yani 2,0062 s'lik küçük açı değerinden yaklaşık %1,76 daha uzun. \(\alpha = 90^\circ\) olduğunda periyot yaklaşık 2,3685 s'ye yükselir; bu da küçük açı tahmininin yaklaşık %18 üzerindedir.
Sıkça sorulan sorular
Periyot neden genliğe bağlıdır? Sarkacın geri çağırıcı torku \(\theta\) ile değil \(\sin\theta\) ile orantılıdır. Yalnızca küçük açılarda \(\sin\theta \approx \theta\) olur ve bu da periyodu genlikten bağımsız olan basit harmonik hareketi verir. Daha geniş salınımlarda hareket anharmoniktir ve yavaşlar.
180 dereceye yaklaşırken ne olur? \(\alpha\) 180°'ye yaklaştıkça modül \(k\) 1'e yaklaşır ve \(K(k)\) ıraksar; dolayısıyla periyot sonsuza gider — sarkaç topu, kararsız ters tepe noktasının yakınında giderek daha uzun süre oyalanır. 180° ve üzerindeki değerler aralık dışı kabul edilir.
Sürtünme hesaba katılıyor mu? Hayır. Bu, ideal ve sürtünmesiz bir sarkaçtır; hava direnci, ip kütlesi ve top boyutu göz ardı edilir. Gerçek sarkaçlar her salınımda bir miktar enerji ve genlik kaybeder.
