이 계산기의 기능
이 도구는 이상적인 단진자(질량이 없고 늘어나지 않는 실에 매달린 점질량)의 정확한 진동 주기를 0도부터 180도까지 어떤 진폭에서도 계산합니다. 교과서에서 흔히 보는 \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) 공식은 소각(작은 각도) 근사일 뿐이라, 흔들림 폭이 커지면 오차가 눈에 띄게 커집니다. 이 계산기는 제1종 완전 타원적분을 기반으로 한 완전한 비선형 해를 사용하므로, 크게 흔들리는 경우에도 정확한 결과를 유지합니다.
사용 방법
세 가지 값을 입력하세요. 방출 각도 \(\alpha\)(도 단위, 진자추를 정지 상태에서 놓는 연직선 기준 최대 각도), 실 길이 \(l\)(미터), 그리고 중력가속도 \(g\)(m/s², 기본값은 표준 중력인 9.80665)입니다. 계산 버튼을 누르면 한 번 왕복하는 한 주기의 주기 \(T\)가 초 단위로 나옵니다. 결과 표에는 타원적분 값 \(K(k)\), 모듈러스 \(k\), 그리고 비교용 소각 근사 주기도 함께 표시됩니다.
공식 풀이
정확한 주기는 다음과 같습니다
$$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$여기서 \(K\)는 모듈러스 \(k = \sin(\alpha/2)\)를 갖는 제1종 완전 타원적분입니다. \(K(k)\)는 조회표 없이 산술-기하 평균(AGM)을 이용해 계산합니다:
$$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot \operatorname{agm}(1,\ \sqrt{1-k^2})}$$AGM은 이차 수렴하므로 5~8회 반복이면 기계 정밀도에 도달합니다. \(\alpha \rightarrow 0\)일 때 \(K \rightarrow \pi/2\)가 되어 \(T\)는 고전적인 \(2\pi\sqrt{l/g}\)로 환원됩니다.
계산 예시
\(\alpha = 30^\circ\), \(l = 1\ \text{m}\), \(g = 9.80665\)인 경우: \(k = \sin(15^\circ) = 0.258819\), \(\operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0.982889\) 이므로 \(K = 1.598142\), 그리고 \(\sqrt{l/g} = 0.319330\)입니다. 따라서
$$T = 4 \times 0.319330 \times 1.598142 \approx 2.0415\ \text{초}$$로, 소각 근사값인 2.0062초보다 약 1.76% 더 깁니다. \(\alpha = 90^\circ\)에서는 주기가 약 2.3685초까지 늘어나, 소각 근사 추정치보다 약 18% 더 커집니다.
자주 묻는 질문
왜 주기가 진폭에 따라 달라지나요? 진자의 복원 토크는 \(\theta\)가 아니라 \(\sin\theta\)에 비례합니다. 작은 각도에서만 \(\sin\theta \approx \theta\)가 성립해 주기가 진폭과 무관한 단순조화운동이 됩니다. 흔들림이 커지면 운동은 비조화적이 되고 더 느려집니다.
180도 부근에서는 어떻게 되나요? \(\alpha\)가 \(180^\circ\)에 가까워지면 모듈러스 \(k\)가 1에 가까워지고 \(K(k)\)가 발산하므로 주기는 무한대로 향합니다. 진자추가 불안정한 거꾸로 선 꼭대기 근처에서 점점 더 오래 머무는 것이죠. \(180^\circ\) 이상의 값은 범위를 벗어난 것으로 처리됩니다.
마찰도 포함되나요? 아닙니다. 이것은 마찰이 없는 이상적인 진자로, 공기 저항, 실의 질량, 진자추의 크기는 모두 무시합니다. 실제 진자는 매 주기마다 약간의 에너지와 진폭을 잃습니다.
