이 계산기의 기능

이 도구는 이상적인 단진자(질량이 없고 늘어나지 않는 실에 매달린 점질량)의 정확한 진동 주기를 0도부터 180도까지 어떤 진폭에서도 계산합니다. 교과서에서 흔히 보는 $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ 공식은 소각(작은 각도) 근사일 뿐이라, 흔들림 폭이 커지면 오차가 눈에 띄게 커집니다. 이 계산기는 제1종 완전 타원적분을 기반으로 한 완전한 비선형 해를 사용하므로, 크게 흔들리는 경우에도 정확한 결과를 유지합니다.

사용 방법

세 가지 값을 입력하세요. 방출 각도 $\alpha$(도 단위, 진자추를 정지 상태에서 놓는 연직선 기준 최대 각도), 실 길이 $l$(미터), 그리고 중력가속도 $g$(m/s², 기본값은 표준 중력인 9.80665)입니다. 계산 버튼을 누르면 한 번 왕복하는 한 주기의 주기 $T$가 초 단위로 나옵니다. 결과 표에는 타원적분 값 $K(k)$, 모듈러스 $k$, 그리고 비교용 소각 근사 주기도 함께 표시됩니다.

공식 풀이

정확한 주기는 다음과 같습니다

$$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$

여기서 $K$는 모듈러스 $k = \sin(\alpha/2)$를 갖는 제1종 완전 타원적분입니다. $K(k)$는 조회표 없이 산술-기하 평균(AGM)을 이용해 계산합니다:

$$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot \operatorname{agm}(1,\ \sqrt{1-k^2})}$$

AGM은 이차 수렴하므로 5~8회 반복이면 기계 정밀도에 도달합니다. $\alpha \rightarrow 0$일 때 $K \rightarrow \pi/2$가 되어 $T$는 고전적인 $2\pi\sqrt{l/g}$로 환원됩니다.

진폭이 증가할 때 진자의 정확한 주기와 소각 근사를 비교하는 곡선 — 진폭이 커질수록 정확한 주기는 일정한 소각 근사값보다 높아진다.

받침점에서 흔들리는 단진자. 줄 길이, 중력, 놓는 진폭각을 표시 — 단진자: 길이 l의 줄에 매단 질량을 진폭각 α에서 놓은 것.

계산 예시

$\alpha = 30^\circ$, $l = 1\ \text{m}$, $g = 9.80665$인 경우: $k = \sin(15^\circ) = 0.258819$, $\operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0.982889$ 이므로 $K = 1.598142$, 그리고 $\sqrt{l/g} = 0.319330$입니다. 따라서

$$T = 4 \times 0.319330 \times 1.598142 \approx 2.0415\ \text{초}$$

로, 소각 근사값인 2.0062초보다 약 1.76% 더 깁니다. $\alpha = 90^\circ$에서는 주기가 약 2.3685초까지 늘어나, 소각 근사 추정치보다 약 18% 더 커집니다.

자주 묻는 질문

왜 주기가 진폭에 따라 달라지나요? 진자의 복원 토크는 $\theta$가 아니라 $\sin\theta$에 비례합니다. 작은 각도에서만 $\sin\theta \approx \theta$가 성립해 주기가 진폭과 무관한 단순조화운동이 됩니다. 흔들림이 커지면 운동은 비조화적이 되고 더 느려집니다.

180도 부근에서는 어떻게 되나요? $\alpha$가 $180^\circ$에 가까워지면 모듈러스 $k$가 1에 가까워지고 $K(k)$가 발산하므로 주기는 무한대로 향합니다. 진자추가 불안정한 거꾸로 선 꼭대기 근처에서 점점 더 오래 머무는 것이죠. $180^\circ$ 이상의 값은 범위를 벗어난 것으로 처리됩니다.

마찰도 포함되나요? 아닙니다. 이것은 마찰이 없는 이상적인 진자로, 공기 저항, 실의 질량, 진자추의 크기는 모두 무시합니다. 실제 진자는 매 주기마다 약간의 에너지와 진폭을 잃습니다.

타원적분 K(k)	1.598142
Modulus k = sin(α/2)	0.258819
Small-angle period 2π√(l/g)	2.006409 s

진자 주기 계산기 (정확값·대진폭 대응)

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