켤레복소수란?
직교 형식 \(z = a + bi\)로 표현된 복소수의 켤레복소수는 허수부의 부호를 반대로 바꿔서 얻습니다. 즉 \(\overline{z} = a - bi\)가 됩니다. 실수부는 그대로 유지되고 허수부만 부호가 뒤집힙니다. 기하학적으로 보면, 켤레복소수는 복소평면에서 실수축(가로축)을 기준으로 점을 대칭 이동시킨 결과입니다.
계산기 사용 방법
복소수의 실수부 a와 허수부 b를 입력하면 켤레복소수를 바로 확인할 수 있습니다. 두 값 모두 양수, 음수, 0이 될 수 있으며 소수점 입력도 지원합니다. 또한 이 계산기는 절댓값(모듈러스) $$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$도 함께 보여주는데, 이 값은 켤레를 취해도 변하지 않습니다.
공식 설명
\(z = a + bi\)일 때 켤레복소수는 $$\overline{z} = a - bi$$입니다. 핵심이 되는 항등식은 \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\)로, 항상 음이 아닌 실수가 된다는 점입니다. 바로 이 성질 덕분에 켤레복소수는 분모의 유리화나 절댓값 계산에 활용됩니다. 또한 켤레 연산은 덧셈과 곱셈에 대해 분배 법칙이 성립합니다. 예를 들어 \(\operatorname{conj}(z + w) = \operatorname{conj}(z) + \operatorname{conj}(w)\)가 성립하죠.
예제 풀이
\(z = 3 + 4i\)를 살펴봅시다. 켤레복소수는 허수부의 부호를 반대로 바꾸므로 \(\overline{z} = 3 - 4i\)가 됩니다. 절댓값은 $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$입니다. \(z\)와 \(\overline{z}\)의 절댓값이 서로 같다는 점에 주목하세요.
자주 묻는 질문
실수의 켤레복소수는 무엇인가요? \(b = 0\)이면 허수부가 없어 부호를 바꿀 것이 없으므로, 그 수는 자기 자신과 같은 켤레복소수를 가집니다.
순허수의 켤레복소수는 무엇인가요? \(z = bi\)일 때 켤레복소수는 \(-bi\)이며, 이는 실수축을 기준으로 대칭 이동한 값입니다.
켤레를 취하면 크기가 달라지나요? 아니요. \(b\)를 제곱하면 부호가 사라지기 때문에 항상 \(|z| = |\overline{z}|\)가 성립합니다.
