켤레복소수와 절댓값(모듈러스) 계산기

계산 입력

복소수 z Rectangular (a+bi) or polar (r e^(θi), θ in radians).

유효숫자 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

켤레복소수

3 - 4i

conj(z) = a - bi

절댓값(모듈러스)

5

|z| = sqrt(a² + b²)

실수부 (a)	3
허수부 (b)	4

이 계산기로 할 수 있는 일

이 도구는 하나의 복소수 z를 입력받아 두 가지 핵심 값을 알려줍니다. 바로 켤레복소수(conjugate)와 절댓값(모듈러스, modulus)입니다. z는 3+4i, -2-5i, 7, 4i처럼 직교형식으로 입력하거나, 5e^(0.9273i)처럼 극형식(지수형식)으로도 입력할 수 있습니다. 이때 각도는 라디안 단위로 받습니다.

사용 방법

입력란에 복소수를 적고, 결과에 표시할 유효숫자 자릿수를 선택하세요(기본값은 10자리). 계산기는 실수부 \(a\)와 허수부 \(b\)를 자동으로 분리해 두 결과를 계산합니다. 유효숫자 설정은 결과를 화면에 보여주는 방식에만 영향을 줄 뿐, 실제 계산값 자체를 바꾸지는 않습니다.

공식 풀이

\(z = a + bi\)일 때, 켤레복소수는 허수부의 부호만 바꿔서 구합니다. 즉 \(\operatorname{conj}(z) = a - bi\)입니다. 절댓값은 점 \((a, b)\)에서 원점까지의 피타고라스 거리로,

$$\bar{z} = a - b\,i, \qquad |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

로 계산합니다. 극형식 \(r\cdot e^{\theta i}\)로 입력한 경우에는 먼저 \(a = r\cdot\cos(\theta)\), \(b = r\cdot\sin(\theta)\)로 변환합니다.

z의 켤레는 실수축에 대한 반사이며, 절댓값 r은 원점으로부터의 거리입니다.

예제로 확인하기

\(z = 3 + 4i\)라고 하면 \(a = 3\), \(b = 4\)입니다. 켤레복소수는 허수부의 부호를 뒤집어 \(3 - 4i\)가 됩니다. 절댓값은

$$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

입니다. 극형식으로 \(5e^{0.9273i}\)를 입력해도 같은 점이 나오는데, \(5\cdot\cos(0.9273) \approx 3\)이고 \(5\cdot\sin(0.9273) \approx 4\)이기 때문입니다.

자주 묻는 질문

절댓값이 음수가 될 수도 있나요? 아니요. 절댓값은 거리이므로 항상 0 이상입니다.

실수의 켤레복소수는 무엇인가요? \(b = 0\)이므로 켤레복소수는 그 수 자신과 같습니다.

극형식의 각도 단위는 무엇인가요? 라디안입니다. 예를 들어 \(e^{3.14159i}\)는 대략 \(-1\)에 가깝습니다.