생일 역설이란?
생일 역설(혹은 생일 문제)은 겉보기에 아주 단순한 질문을 던집니다. n명이 모인 자리에서 적어도 두 사람의 생일이 같을 확률은 얼마일까요? 놀랍게도 단 23명만 모여도 그 확률이 50%를 넘고, 70명만 되면 99.9%를 훌쩍 넘어섭니다. 이 결과가 역설처럼 느껴지는 이유는, 사람들이 본능적으로 자기 자신의 생일과 비교하기 때문입니다. 하지만 실제로는 모임 안의 모든 두 사람 조합마다 생일이 겹칠 기회가 있는 셈이죠.
계산기 사용법
모임 인원수 n(사람 수)을 입력하면, 적어도 한 쌍의 생일이 같을 확률 \(p(n)\)이 백분율로 표시됩니다. 결과 표에는 모든 사람의 생일이 서로 다를 여확률도 함께 나타납니다. 이 계산기는 1년을 365일로 보고 모든 날이 같은 확률로 나타난다고 가정하며, 윤년의 2월 29일 출생은 고려하지 않습니다.
공식 풀이
가장 쉬운 방법은 아무도 생일이 겹치지 않을 확률을 먼저 구한 뒤 1에서 빼는 것입니다. 첫 번째 사람은 어떤 날에 태어나도 상관없습니다(365/365). 두 번째 사람은 첫 번째와 겹치지 않아야 하고(364/365), 세 번째 사람은 앞의 두 사람과 겹치지 않아야 하며(363/365), 이런 식으로 계속됩니다.
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$그러면 적어도 한 쌍의 생일이 같을 확률은 \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\)이 됩니다. 팩토리얼이 너무 커지는 것을 막기 위해 곱셈을 반복 계산 방식으로 처리합니다.
계산 예시
\(n = 23\)인 경우, 23개의 분수를 모두 곱하면 \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\)이 되어 $$p(23) = 1 - 0.492703 \approx 0.5073,$$ 즉 약 50.73%가 됩니다. 동전 던지기보다 살짝 높은 확률이죠. 기본값인 \(n = 30\)일 때는 \(\bar{p}(30) \approx 0.293684\)이므로 \(p(30) \approx\) 70.63%가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 이렇게 적은 인원으로도 성립하나요? 23명으로 이루어진 모임에는 무려 253가지의 두 사람 조합이 들어 있고, 그 조합마다 생일이 겹칠 새로운 기회가 생기기 때문입니다.
366명이 되면 어떻게 되나요? 비둘기집 원리에 따라, 가능한 날이 365일뿐인데 사람이 366명이라면 생일이 겹치는 쌍이 반드시 존재하게 됩니다. 따라서 확률은 정확히 100%입니다.
윤년도 반영되나요? 아니요. 이 모델은 365일이 모두 같은 확률로 나타난다고 보고 2월 29일은 제외합니다. 이렇게 해야 고전적인 결과가 깔끔하게 유지됩니다.
