बर्थडे पैराडॉक्स क्या है?
बर्थडे पैराडॉक्स (या बर्थडे प्रॉब्लम) एक ऐसा सवाल पूछता है जो देखने में बेहद आसान लगता है: किसी n लोगों के समूह में इस बात की कितनी संभावना है कि उनमें से कम से कम दो लोगों का जन्मदिन एक ही दिन पड़े? हैरान कर देने वाला जवाब यह है कि इस संभावना के 50% से ऊपर जाने के लिए सिर्फ़ 23 लोग ही काफ़ी हैं, और महज़ 70 लोगों पर तो यह संभावना 99.9% के पार चली जाती है। यह बात उल्टी-पुल्टी इसलिए लगती है क्योंकि लोग सहज रूप से इसकी तुलना अपने ही जन्मदिन से करने लगते हैं, जबकि असल में समूह की हर जोड़ी एक मेल खाने का मौका होती है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
समूह का आकार n (लोगों की संख्या) डालें और देखें कि कम से कम एक जोड़ी का जन्मदिन एक होने की संभावना \(p(n)\) कितनी है, जो प्रतिशत में दिखाई जाती है। नतीजे की टेबल में इसके पूरक की संभावना भी दिखती है, यानी सभी के जन्मदिन अलग-अलग होने की संभावना। यह कैलकुलेटर 365 दिनों का साल मानकर चलता है, जिसमें हर दिन के पड़ने की संभावना बराबर है, और लीप ईयर वाली 29 फ़रवरी की पैदाइश को छोड़ देता है।
फ़ॉर्मूला समझें
सबसे आसान तरीका यह है कि पहले इस बात की संभावना निकालें कि किसी का भी जन्मदिन आपस में मेल नहीं खाता, और फिर उसे 1 में से घटा दें। पहले व्यक्ति का जन्मदिन कोई भी हो सकता है (365/365)। दूसरे का जन्मदिन पहले से अलग होना चाहिए (364/365), तीसरे का पहले दो से अलग (363/365), और इसी तरह आगे:
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$फिर कम से कम एक जन्मदिन के मेल खाने की संभावना है \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\)। हम इस गुणनफल को क्रमशः (iteratively) निकालते हैं ताकि फैक्टोरियल का ओवरफ़्लो न हो।
हल किया हुआ उदाहरण
\(n = 23\) के लिए, इन 23 भिन्नों को गुणा करने पर \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\) आता है, इसलिए $$p(23) = 1 - 0.492703 \approx 0.5073$$ यानी करीब 50.73% — एक सिक्का उछालने से बस ज़रा-सा ज़्यादा। डिफ़ॉल्ट \(n = 30\) के लिए, \(\bar{p}(30) \approx 0.293684\) आता है, जिससे \(p(30) \approx\) 70.63% बनता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
इतने कम लोगों के साथ भी यह कैसे काम कर जाता है? क्योंकि 23 लोगों के समूह में 253 संभावित जोड़ियाँ बनती हैं, और हर जोड़ी मेल खाने का एक नया मौका होती है।
366 लोगों पर क्या होता है? पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार, जब सिर्फ़ 365 ही संभावित दिन हैं, तो किसी न किसी का जन्मदिन मेल खाना तय है, इसलिए संभावना ठीक 100% हो जाती है।
क्या इसमें लीप ईयर का हिसाब है? नहीं। यह मॉडल 365 दिनों को बराबर संभावना के साथ लेता है और 29 फ़रवरी को छोड़ देता है, जिससे क्लासिक नतीजा साफ़-सुथरा बना रहता है।
