什么是生日悖论？
生日悖论（也叫生日问题）提出了一个看似简单的问题：在一群 n 个人当中，至少有两人生日相同的概率是多少？答案出乎意料——只需 23 个人，这个概率就会超过 50%；而仅仅 70 个人，概率便高达 99.9% 以上。之所以让人觉得"反直觉"，是因为大家本能地拿别人和自己的生日去比对，却忽略了：群体中每一对人，都是一次"撞生日"的机会。
如何使用本计算器
输入群体人数 n（即人数），即可读出至少有一对人生日相同的概率 \(p(n)\)，以百分比形式显示。结果表格还会给出其互补概率，即所有人生日都各不相同的概率。本计算器假设一年为 365 天、每一天出现的可能性均等，并忽略闰年 2 月 29 日出生的情况。
公式详解
最简便的做法是先计算没有任何人生日相同的概率，再用 1 减去它。第一个人的生日可以是任意一天（365/365）；第二个人必须避开第一个人的生日（364/365）；第三个人要避开前两人（363/365），依此类推：
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$那么至少有一对生日相同的概率就是 \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\)。我们采用逐项相乘的方式进行计算，以避免阶乘运算造成数值溢出。
实例演算
当 \(n = 23\) 时，将这 23 个分数相乘可得 \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\)，于是 \(p(23) = 1 - 0.492703 \approx 0.5073\)，约为 50.73%——刚好比抛硬币的概率高一点点。对于默认值 \(n = 30\)，\(\bar{p}(30) \approx 0.293684\)，得出 \(p(30) \approx\) 70.63%。
常见问题
为什么这么少的人就能成立？因为 23 个人当中共有 253 对组合，而每一对都是一次撞生日的全新机会。
当人数达到 366 时会怎样？根据鸽笼原理（抽屉原理），可用的生日只有 365 天，所以 366 个人必然有人生日相同，此时概率恰好为 100%。
它考虑闰年了吗？没有。本模型采用 365 个等可能的日期，排除 2 月 29 日，这样能让经典结论保持简洁明了。
