学生t分布百分位点（逆t）计算器 | t.inv 临界值在线计算

输入计算

结果

百分位点 t

2.228139

满足 F(t) = 左尾概率的分位数

所用的左尾概率	0.975
结果解读	F(t) = P(T ≤ t) = 0.975

这个计算器能做什么

本工具用于计算学生t分布的百分位点（也叫分位数、临界值或逆累积分布函数）。给定累积概率 $P$ 和自由度 $\nu$，它会返回这样一个值 $t$：使得 t 分布密度曲线从负无穷到 $t$ 之间所围的面积恰好等于你设定的概率。它是 t 分布累积分布函数（CDF）的逆运算，对应于电子表格中的 t.inv 函数。t 分布属于纯数学范畴，在世界各地的结果完全一致，不受地区或国别影响。

Bell-shaped t-distribution curve with a shaded left area p and a vertical line at the corresponding quantile t on the horizontal axis — The percentage point t is the value where the cumulative area under the t-distribution curve equals p.

如何使用

输入累积概率 $P$（必须严格位于 0 和 1 之间），选择 $P$ 表示的是左尾面积（t 左侧的面积）还是右尾面积（t 右侧的面积），再填入自由度。在内部，计算器始终会把概率转换为左尾概率：若选择左尾，则直接使用 $P$；若选择右尾，则使用 $1 - P$。随后求解出 t。

公式详解

自由度为 $\nu$ 的学生t分布，其 CDF 可以用正则化不完全贝塔函数 $I$ 来表示。当 $t \ge 0$ 时， $$F(t) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right),\quad x=\frac{\nu}{\nu+t^{2}}$$ 当 $t < 0$ 时，则使用对称表达式 $$F(t) = \tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right)$$ 不完全贝塔函数借助伽马函数的 Lanczos 近似和标准的连分式算法进行求值。由于 $F$ 是严格单调递增的，逆函数可通过稳健的二分法求得。 $$t = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right)$$

Two overlaid symmetric bell curves: a flatter t-distribution with heavier tails compared to a taller narrower normal distribution — The t-distribution has heavier tails than the normal curve, narrowing toward it as degrees of freedom grow.

实例演示

当 $P = 0.975$、左尾、自由度 $\nu = 10$ 时，计算器返回 $t \approx$ 2.228139——这正是 t 分布表中常见的双侧 95%（单侧 97.5%）临界值。如果改用 $P = 0.025$ 配合右尾，也会得到同样的结果，因为右尾 2.5% 的面积等价于左尾 97.5% 的面积。