Калькулятор процентной точки t-распределения Стьюдента (обратное t / квантиль)

Введите расчет

Кумулятивная вероятность P Вероятность строго между 0 и 1 (например, 0,975).

Тип хвоста Lower (P = area to the LEFT of t) Upper (P = area to the RIGHT of t)

Число степеней свободы (ν) Любое положительное значение; обычно положительное целое число.

Результатов

Процентная точка t

2,228139

квантиль, для которого F(t) = вероятность левого хвоста

Использованная вероятность левого хвоста	0,975
Интерпретация	F(t) = P(T ≤ t) = 0,975

Что вычисляет этот калькулятор

Этот инструмент находит процентную точку (её также называют квантилем, критическим значением или обратной функцией распределения) t-распределения Стьюдента. По заданной кумулятивной вероятности P и числу степеней свободы ν калькулятор возвращает такое значение t, при котором площадь под плотностью t-распределения слева от t равна выбранной вероятности. Это операция, обратная функции распределения t (CDF), — аналог функции t.inv в электронных таблицах. Распределение Стьюдента — это универсальная математика, которая одинаково работает в любой стране и не зависит от каких-либо национальных норм.

The percentage point t is the value where the cumulative area under the t-distribution curve equals p.

Как пользоваться калькулятором

Введите кумулятивную вероятность P (строго между 0 и 1), укажите, является ли P площадью левого хвоста (слева от t) или правого хвоста (справа от t), и задайте число степеней свободы. Внутри расчёта всё всегда приводится к вероятности левого хвоста: для левого хвоста используется само значение P, а для правого — величина \(1 - P\). После этого решается уравнение относительно t.

Разбор формулы

Функция распределения Стьюдента с ν степенями свободы выражается через регуляризованную неполную бета-функцию I. Для \(t \ge 0\) имеем $$F(t) = 1 - 0{,}5 \cdot I_x\!\left(\tfrac{\nu}{2},\ \tfrac{1}{2}\right),\quad x = \frac{\nu}{\nu + t^2};$$ для \(t < 0\) в силу симметрии используется выражение $$F(t) = 0{,}5 \cdot I_x\!\left(\tfrac{\nu}{2},\ \tfrac{1}{2}\right).$$ Неполная бета-функция вычисляется с применением приближения Ланцоша для гамма-функции и стандартного алгоритма разложения в цепную дробь. Поскольку F строго возрастает, обратное значение находится методом устойчивого деления отрезка пополам (бисекции).

Реклама

The t-distribution has heavier tails than the normal curve, narrowing toward it as degrees of freedom grow.

Разбор примера

При \(P = 0{,}975\), левом хвосте и \(\nu = 10\) степенях свободы калькулятор возвращает \(t \approx\) 2,228139 — то самое привычное критическое значение для двустороннего уровня 95% (одностороннего 97,5%), которое можно найти в таблицах t-распределения. Тот же результат получается при \(P = 0{,}025\) с правым хвостом, ведь площадь правого хвоста в 2,5% равна площади левого хвоста в 97,5%.

Часто задаваемые вопросы

Что будет, если ввести \(P = 0\) или \(P = 1\)? Процентная точка в этих случаях не определена: она уходит в минус или плюс бесконечность, поэтому калькулятор выдаёт ошибку.

Что происходит при большом числе степеней свободы? t-распределение стремится к стандартному нормальному, поэтому при очень больших \(\nu\) квантиль приближается к квантилю нормального распределения (например, при \(P = 0{,}975\) это примерно 1,95996).

Может ли \(\nu\) быть нецелым? Да. Допустимо любое значение \(\nu > 0\), в том числе дробное.