Что считает этот калькулятор
Калькулятор квантиля обратного распределения хи-квадрат находит значение x распределения хи-квадрат по заданной кумулятивной вероятности и числу степеней свободы. Иными словами, он решает обратную функцию распределения (обратную CDF) и возвращает критическое значение, которое применяют в проверке статистических гипотез, при построении доверительных интервалов и в анализе согласия (goodness-of-fit). Это чистая математика, она работает одинаково в любой стране и не зависит от местных правил.
Как пользоваться
Сначала выберите режим вероятности. Вариант Левый хвост подходит, если ваша вероятность P задана как P(X ≤ x) — площадь слева от x. Вариант Правый хвост используйте, если вероятность Q задана как P(X > x) — площадь справа; именно так чаще всего задают критические значения. Введите вероятность в диапазоне от 0 до 1, а затем число степеней свободы (nu), которое должно быть положительным. Калькулятор вернёт значение x.
Формула
Функция распределения хи-квадрат с nu степенями свободы равна \(F(x; \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{x}{2}\right)\), где \(P\) — регуляризованная нижняя неполная гамма-функция. Для левого хвоста мы решаем уравнение
$$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$Для правого хвоста полагаем p_eff = 1 − Q и решаем
$$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$Уравнение обращается численно — устойчивым методом бисекции с локализацией корня для функции \(g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}\).
Разбор примера
Правый хвост, Q = 0,05, nu = 10. Тогда \(p_{\text{eff}} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\), то есть мы решаем \(F(x; 10) = 0{,}95\), или \(\text{regularizedGammaP}\!\left(5, \tfrac{x}{2}\right) = 0{,}95\). Корень равен \(x \approx 18{,}307\) — это хорошо известное критическое значение хи-квадрат для 10 степеней свободы на уровне 5 % по правому хвосту.
Частые вопросы
Что здесь означает число степеней свободы? Это параметр формы nu распределения хи-квадрат; эквивалентная гамма-функция имеет форму nu/2 и масштаб 2.
Левый или правый хвост? Левый хвост — это площадь слева от x, правый хвост — площадь справа от x. В таблицах критических значений обычно приводят вероятности правого хвоста.
Почему x иногда равен 0 или очень велик? Когда эффективная вероятность левого хвоста стремится к 0, значение x стремится к 0; когда она стремится к 1, x неограниченно растёт.
