역카이제곱분포 백분위수(임계값) 계산기

계산 입력

결과

백분위수 (x)

18.307038

카이제곱 분위수

분포	카이제곱 (역 CDF)

이 계산기의 기능

역카이제곱 백분위수 계산기는 누적확률과 자유도가 주어졌을 때 카이제곱분포의 분위수 x를 찾아줍니다. 즉 역누적분포함수(역 CDF)를 풀어, 가설검정·신뢰구간·적합도 검정에서 사용하는 임계값을 돌려줍니다. 이는 특정 국가에 종속되지 않는 보편적인 순수 수학으로, 어디에서나 동일하게 적용됩니다.

하측 꼬리 면적 p가 음영 처리되고 분위점 x가 표시된 카이제곱 밀도 곡선 — 백분위점 x는 카이제곱 곡선 아래 하측 꼬리 면적이 확률 p와 같아지는 값입니다.

사용 방법

먼저 누적 방식을 선택합니다. 확률 P가 $P(X \le x)$, 즉 왼쪽 면적이라면 하측(Lower tail)을 고르세요. 확률 Q가 $P(X > x)$, 즉 오른쪽 면적이라면 상측(Upper tail)을 고르면 됩니다(임계값을 다룰 때 흔히 쓰는 형태입니다). 0과 1 사이의 확률을 입력한 뒤, 반드시 양수여야 하는 자유도($\nu$)를 입력하면 계산기가 x를 반환합니다.

공식

자유도 $\nu$인 카이제곱 CDF는 $F(x;\ \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right)$로, 여기서 P는 정규화된 하부 불완전 감마 함수입니다. 하측의 경우 $$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$ 를 풀고, 상측의 경우 $p_{eff} = 1 - Q$로 두고 $$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$ 를 풉니다. 이 방정식은 $g(x) = F(x) - p_{eff}$에 대한 견고한 구간 분할(이분법)을 이용해 수치적으로 역산합니다.

풀이 예시

상측, $Q = 0.05$, $\nu = 10$인 경우를 봅시다. 그러면 $p_{eff} = 1 - 0.05 = 0.95$가 되므로 $F(x;\ 10) = 0.95$, 즉 $\text{regularizedGammaP}(5,\ x/2) = 0.95$를 풉니다. 해는 $x \approx 18.307$이며, 이는 자유도 10에서 상측 5% 수준에 해당하는 익숙한 카이제곱 임계값입니다.