평행육면체란?
평행육면체는 여섯 개의 평행사변형 면으로 이루어진 입체 도형입니다. 한 꼭짓점에서 뻗어 나오는 세 모서리 벡터 a, b, c만으로 그 형태를 완전히 나타낼 수 있습니다. 정육면체와 직육면체는 모서리가 서로 수직인 평행육면체의 특수한 경우입니다.
계산기 사용 방법
세 모서리 벡터 각각의 x, y, z 성분을 입력하세요. 계산기는 먼저 b와 c의 외적을 구하고, 그 결과와 a의 내적을 계산한 뒤, 마지막으로 절댓값을 취합니다. 이렇게 나온 값이 세제곱 단위의 부피입니다.
공식 자세히 알아보기
부피는 스칼라 삼중곱의 크기로 주어집니다: $$V = \left| \, \text{a} \cdot (\text{b} \times \text{c}) \, \right|$$ 외적 \(\text{b} \times \text{c}\)는 밑면 평행사변형에 수직인 벡터를 만들어내며, 그 크기는 밑면의 넓이와 같습니다. 여기에 a를 내적하면 높이 방향으로 투영되므로, 그 곱은 결국 밑면 넓이 × 높이, 즉 부피가 됩니다. 절댓값을 취하는 것은 벡터의 방향과 무관하게 항상 양수 값을 얻기 위함입니다. 또한 삼중곱은 세 벡터를 각 행으로 갖는 3×3 행렬의 행렬식과도 같습니다. 전체 공식은 다음과 같이 전개됩니다: $$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$
예제 풀이
\(\text{a} = (2, 0, 0)\), \(\text{b} = (0, 3, 0)\), \(\text{c} = (0, 0, 4)\)라고 합시다. 먼저 $$\text{b} \times \text{c} = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0)$$입니다. 다음으로 \(\text{a} \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24\)가 됩니다. 따라서 부피는 \(|24| = 24\) 세제곱 단위이며, 이는 직육면체 계산 \(2 \times 3 \times 4 = 24\)와 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
부피가 0이면 어떤 의미인가요? 부피가 0이라는 것은 세 벡터가 한 평면 위에 있다(일차종속)는 뜻이므로, 입체를 이룰 수 없습니다.
벡터의 순서가 중요한가요? 벡터의 순서를 바꾸면 삼중곱의 부호가 뒤집힐 수 있지만, 절댓값을 취하기 때문에 부피는 변하지 않습니다.
정육면체에도 사용할 수 있나요? 네. 길이가 같고 서로 수직인 모서리 벡터를 입력하면 됩니다. 예를 들어 \((s,0,0)\), \((0,s,0)\), \((0,0,s)\)를 입력하면 \(s^3\)이 나옵니다.
