समानांतर षट्फलक का आयतन कैलकुलेटर

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a · x

a · y

a · z

b · x

b · y

b · z

c · x

c · y

c · z

परिणाम

समानांतर षट्फलक का आयतन

1

घन इकाइयाँ

अदिश त्रिगुणन गुणनफल a · (b × c)	1
आयतन = |a · (b × c)|	1

समानांतर षट्फलक क्या है?

समानांतर षट्फलक (parallelepiped) एक त्रि-आयामी आकृति है जो छह समानांतर चतुर्भुज फलकों से बनती है। इसे पूरी तरह तीन किनारा सदिशों a, b और c से दर्शाया जा सकता है, जो किसी एक कोने से निकलते हैं। घन (cube) और घनाभ (cuboid) इसी समानांतर षट्फलक के विशेष रूप हैं, जिनमें किनारे आपस में लंबवत होते हैं।

एक समानांतर षट्फलक तीन कोर सदिशों a, b और c से बनता है, जो एक उभयनिष्ठ शीर्ष साझा करते हैं।

इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें

तीनों किनारा सदिशों में से हर एक के x, y और z घटक भरें। कैलकुलेटर पहले b और c का सदिश गुणनफल (cross product) निकालता है, फिर उसका a के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेता है, और अंत में निरपेक्ष मान देता है। यही परिणाम घन इकाइयों में आयतन होता है।

सूत्र की व्याख्या

आयतन अदिश त्रिगुणन गुणनफल (scalar triple product) के परिमाण के बराबर होता है: \( V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| \)। सदिश गुणनफल \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \) एक ऐसा सदिश देता है जो आधार चतुर्भुज पर लंबवत होता है और जिसका परिमाण उस आधार के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसका a के साथ अदिश गुणनफल लेने पर वह ऊँचाई की दिशा में प्रक्षेपित हो जाता है, इसलिए यह गुणनफल बन जाता है — आधार क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई, यानी ठीक आयतन। निरपेक्ष मान यह सुनिश्चित करता है कि सदिशों की दिशा चाहे जो हो, उत्तर हमेशा धनात्मक रहे। दूसरे शब्दों में, यह त्रिगुणन गुणनफल उस 3×3 आव्यूह (matrix) का सारणिक (determinant) है जिसकी पंक्तियाँ ये तीनों सदिश हैं।

$$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$

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सदिश गुणनफल b × c आधार क्षेत्रफल देता है, और a के साथ अदिश गुणनफल ऊँचाई पर प्रक्षेपित करता है — मिलकर आयतन बनाते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \( \mathbf{a} = (2, 0, 0) \), \( \mathbf{b} = (0, 3, 0) \), \( \mathbf{c} = (0, 0, 4) \)। सबसे पहले, $$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0)$$ फिर \( \mathbf{a} \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24 \)। तो आयतन \( = |24| = 24 \) घन इकाइयाँ — जो घनाभ \( 2 \times 3 \times 4 = 24 \) से मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर आयतन शून्य आए तो? शून्य आयतन का मतलब है कि तीनों सदिश एक ही समतल में हैं (रैखिक रूप से आश्रित हैं), इसलिए वे कोई ठोस आकृति नहीं घेर सकते।

क्या सदिशों का क्रम मायने रखता है? सदिशों का क्रम बदलने से त्रिगुणन गुणनफल का चिह्न बदल सकता है, लेकिन चूँकि हम निरपेक्ष मान लेते हैं, इसलिए आयतन वही रहता है।

क्या इसे घन के लिए इस्तेमाल कर सकते हैं? हाँ — बराबर लंबाई वाले लंबवत किनारा सदिश भरें, जैसे \( (s,0,0) \), \( (0,s,0) \), \( (0,0,s) \), जिससे \( s^3 \) मिलता है।