¿Qué es un paralelepípedo?
Un paralelepípedo es una figura tridimensional formada por seis caras que son paralelogramos. Queda totalmente definido por tres vectores arista a, b y c que parten de un mismo vértice. El cubo y el ortoedro (la caja rectangular) son casos particulares de paralelepípedo en los que las aristas son perpendiculares entre sí.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las componentes x, y y z de cada uno de los tres vectores arista. La calculadora obtiene el producto vectorial de b y c, lo multiplica escalarmente por a y, por último, toma el valor absoluto. El resultado es el volumen expresado en unidades cúbicas.
La fórmula explicada
El volumen es igual al módulo del producto mixto (o triple producto escalar): $$V = \left| \, \text{a}_x(\text{b}_y\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_y) - \text{a}_y(\text{b}_x\,\text{c}_z - \text{b}_z\,\text{c}_x) + \text{a}_z(\text{b}_x\,\text{c}_y - \text{b}_y\,\text{c}_x) \, \right|$$ El producto vectorial \(b \times c\) genera un vector perpendicular al paralelogramo de la base, cuyo módulo coincide con el área de esa base. Al multiplicarlo escalarmente por a, lo proyectamos sobre la dirección de la altura, de modo que el producto equivale a área de la base por altura, es decir, exactamente el volumen. El valor absoluto garantiza que el resultado sea positivo, sea cual sea la orientación de los vectores. De forma equivalente, el producto mixto es el determinante de la matriz 3×3 cuyas filas son los tres vectores.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = (2, 0, 0)\), \(b = (0, 3, 0)\), \(c = (0, 0, 4)\). Primero, $$b \times c = (3\cdot4 - 0\cdot0,\ 0\cdot0 - 0\cdot4,\ 0\cdot0 - 3\cdot0) = (12, 0, 0).$$ Después, $$a \cdot (12, 0, 0) = 2\cdot12 = 24.$$ El volumen es \(|24| = 24\) unidades cúbicas, que coincide con el de la caja \(2 \times 3 \times 4 = 24\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que el volumen sea cero? Un volumen nulo indica que los tres vectores son coplanarios (linealmente dependientes), por lo que no pueden delimitar un sólido.
¿Importa el orden de los vectores? Cambiar el orden puede invertir el signo del producto mixto, pero como tomamos el valor absoluto el volumen no varía.
¿Sirve para un cubo? Sí: introduce vectores arista perpendiculares y de igual longitud; por ejemplo, \((s,0,0)\), \((0,s,0)\), \((0,0,s)\) da \(s^3\).
