Fórmula

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Depressed Quartic (Substitution)

With x = y - B/4 and monic coefficients B=b/a, C=c/a, D=d/a, E=e/a, the quartic reduces to y^4 + p y^2 + q y + r = 0 which Ferrari method solves.

Resultados

Las cuatro raíces de la cuártica

-2

Método	Método de Ferrari (cúbica resolvente)
Número de raíces	4 (contando multiplicidad, en el plano complejo)

¿Qué hace esta calculadora de ecuaciones de cuarto grado?

Esta herramienta calcula las cuatro raíces de una ecuación polinómica de cuarto grado (cuártica) con la forma $ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0$. Emplea el método de Ferrari, una técnica algebraica exacta, de modo que devuelve las raíces reales y complejas con precisión, sin recurrir a aproximaciones por iteración numérica. Toda ecuación cuártica con coeficientes reales tiene exactamente cuatro raíces en el plano complejo, y las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados.

Curva cuártica que cruza el eje x en cuatro puntos de raíz — Una ecuación cuártica puede tener hasta cuatro raíces reales, donde su curva cruza el eje x.

Cómo utilizarla

Introduce los cinco coeficientes a, b, c, d y e. El coeficiente principal a no puede ser cero; de lo contrario, la ecuación deja de ser de cuarto grado. Deja los demás en cero si tu polinomio carece de algún término. Pulsa calcular para ver desde x1 hasta x4. Las raíces reales no muestran parte imaginaria; las complejas aparecen con la forma $p + qi$.

La fórmula explicada

En primer lugar, la ecuación se convierte en mónica dividiendo entre a. La sustitución $x = y - \tfrac{b}{4a}$ produce una cuártica reducida $$y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0$$ sin término cúbico. A continuación, el método de Ferrari halla una raíz real m de una cúbica resolvente, lo que permite expresar la cuártica reducida como el producto de dos factores cuadráticos. Al resolver cada cuadrática con la fórmula cuadrática compleja se obtienen cuatro valores de y; deshaciendo el cambio con $x = y - \tfrac{b}{4a}$ se llega a las raíces.

Diagrama de flujo del método de Ferrari que reduce una cuártica a una cúbica y dos cuadráticas — El método de Ferrari reduce la cuártica a una cúbica resolvente y dos factores cuadráticos.

Ejemplo resuelto

Para $$x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0$$ ($a=1$, $b=-7$, $c=5$, $d=31$, $e=-30$), el polinomio se factoriza como $(x-1)(x+2)(x-3)(x-5)$. La calculadora devuelve $x1 = -2$, $x2 = 1$, $x3 = 3$, $x4 = 5$, todas reales.

Preguntas frecuentes

¿Funciona con raíces complejas? Sí. Por ejemplo, $x^{4} + 1 = 0$ devuelve las cuatro raíces cuartas complejas de $-1$, que son aproximadamente $\pm 0{,}7071 \pm 0{,}7071i$.

¿Qué ocurre si a vale cero? La ecuación deja de ser de cuarto grado y la calculadora muestra un error; en ese caso utiliza una calculadora para ecuaciones cúbicas o cuadráticas.

¿Admite raíces repetidas? Sí. Una ecuación como $(x-2)^{4} = 0$ devuelve $x = 2$ cuatro veces.

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Resolución de ecuaciones de cuarto grado

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