Калькулятор уравнений четвёртой степени

Введите расчет

a (x⁴)

b (x³)

c (x²)

d (x)

e (свободный член)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Depressed Quartic (Substitution)

   

   With x = y - B/4 and monic coefficients B=b/a, C=c/a, D=d/a, E=e/a, the quartic reduces to y^4 + p y^2 + q y + r = 0 which Ferrari method solves.

Результатов

Четыре корня уравнения 4-й степени

x1

-2

x2

1

x3

3

x4

5

Метод	Метод Феррари (через резольвенту — кубическое уравнение)
Количество корней	4 (с учётом кратности, в комплексной плоскости)

Что делает этот калькулятор?

Этот калькулятор находит все четыре корня уравнения четвёртой степени вида \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\). В его основе лежит метод Феррари — точный алгебраический способ, поэтому корни (как действительные, так и комплексные) вычисляются формулами, а не приближёнными численными итерациями. Любое уравнение четвёртой степени с действительными коэффициентами имеет ровно четыре корня в комплексной плоскости, причём комплексные корни всегда идут парами сопряжённых чисел.

Уравнение четвёртой степени может иметь до четырёх вещественных корней — в точках, где его кривая пересекает ось x.

Как пользоваться

Введите пять коэффициентов: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\). Старший коэффициент \(a\) должен быть отличен от нуля — иначе уравнение перестаёт быть уравнением четвёртой степени. Если в вашем многочлене какие-то члены отсутствуют, оставьте соответствующие поля равными нулю. Нажмите «Вычислить», и калькулятор покажет корни от \(x_1\) до \(x_4\). У действительных корней мнимая часть отсутствует, а комплексные выводятся в виде \(p + qi\).

Как работает формула

Сначала уравнение приводится к приведённому виду делением на \(a\). Замена \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) убирает кубический член и даёт неполное уравнение четвёртой степени $$y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0$$ Далее метод Феррари находит действительный корень \(m\) так называемой резольвенты — вспомогательного кубического уравнения. Это позволяет разложить неполный многочлен в произведение двух квадратных трёхчленов. Решая каждый из них по формуле корней квадратного уравнения (в комплексном виде), получаем четыре значения \(y\), а обратная замена \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) даёт искомые корни.

Метод Феррари сводит уравнение четвёртой степени к разрешающему кубическому уравнению и двум квадратным множителям.

Разбор примера

Возьмём уравнение \(x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0\) (\(a=1\), \(b=-7\), \(c=5\), \(d=31\), \(e=-30\)). Его многочлен раскладывается на множители \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\). Калькулятор вернёт корни \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\) — все действительные.

Частые вопросы

Умеет ли он находить комплексные корни? Да. Например, для уравнения \(x^{4} + 1 = 0\) калькулятор выдаст четыре комплексных корня из \(-1\), примерно равных \(\pm 0{,}7071 \pm 0{,}7071i\).

Что будет, если \(a\) равно нулю? Тогда уравнение уже не является уравнением четвёртой степени, и калькулятор сообщит об ошибке — воспользуйтесь решателем кубического или квадратного уравнения.

Учитываются ли кратные корни? Да. Например, для уравнения \((x-2)^{4} = 0\) калькулятор вернёт \(x = 2\) четыре раза.