Что такое цепная линия?
Цепная линия (катенарий) — это форма, которую принимает гибкая цепь или трос, свободно подвешенный за два конца и провисающий под собственным весом. На первый взгляд она напоминает параболу, однако точно описывается гиперболическим косинусом: \(y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)\). Параметр a определяет, насколько «глубокой» или «пологой» получится кривая: чем больше a, тем более натянутой и плоской будет линия, а при малом a провисание становится заметно глубже.
Как пользоваться калькулятором
Введите параметр цепной линии a и горизонтальную координату x, отсчитываемую от самой нижней точки (вершины). Калькулятор вычислит высоту кривой y, провисание над вершиной \((y - a)\) и наклон \((dy/dx)\) в этой точке. Вершина находится при \(x = 0\), где \(y = a\), а наклон равен 0.
Разбор формулы
Высота определяется как $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ где cosh — гиперболический косинус. Первая производная даёт наклон: $$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ В вершине (\(x = 0\)) \(\cosh(0) = 1\), поэтому \(y = a\), а \(\sinh(0) = 0\), значит касательная горизонтальна. Провисание относительно нижней точки равно просто \(y - a\).
Пример расчёта
Пусть \(a = 10\) и \(x = 5\). Тогда \(x/a = 0{,}5\). \(\cosh(0{,}5) \approx 1{,}12763\), поэтому $$y = 10 \times 1{,}12763 \approx 11{,}2763$$ Провисание составляет \(y - a \approx 1{,}2763\), а наклон равен \(\sinh(0{,}5) \approx 0{,}52110\).
Частые вопросы
Цепная линия и парабола — это одно и то же? Нет. Возле нижней точки они выглядят похоже, но провисающая цепь описывается функцией cosh, тогда как парабола (\(y = kx^2\)) соответствует нагрузке, равномерно распределённой по горизонтали — например, полотну висячего моста.
Что означает параметр a? Он равен горизонтальному натяжению, делённому на вес единицы длины троса, и одновременно представляет собой высоту вершины над директрисой.
Почему a не может быть равно нулю? В формуле x делится на a, поэтому при \(a = 0\) выражение не определено; в этом случае калькулятор возвращает ноль.
