Đường cong dây xích là gì?
Đường cong dây xích (tiếng Anh là catenary) là hình dạng tạo thành khi một sợi dây xích hay dây cáp mềm dẻo được treo tự do dưới trọng lượng của chính nó, chỉ được giữ cố định ở hai đầu. Trông tưởng giống parabol, nhưng đường cong thật sự lại được mô tả bằng hàm cosin hyperbolic: \(y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)\). Hằng số a quyết định đường cong "sâu" hay "phẳng": a càng lớn thì đường cong càng phẳng và căng, còn a càng nhỏ thì dây càng võng sâu.
Cách sử dụng máy tính này
Bạn hãy nhập hằng số dây xích a và vị trí ngang x tính từ điểm thấp nhất (đỉnh của đường cong). Máy tính sẽ cho ra độ cao y, độ võng so với đỉnh (y − a) và độ dốc (dy/dx) tại điểm đó. Đỉnh nằm tại \(x = 0\), nơi \(y = a\) và độ dốc bằng 0.
Giải thích công thức
Độ cao được tính bằng $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ trong đó cosh là hàm cosin hyperbolic. Lấy đạo hàm một lần ta được độ dốc: $$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ Tại đỉnh (\(x = 0\)), ta có \(\cosh(0) = 1\) nên \(y = a\), và \(\sinh(0) = 0\) nên tiếp tuyến nằm ngang. Độ võng so với điểm thấp nhất đơn giản chính là \(y - a\).
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a = 10\) và \(x = 5\). Khi đó \(x/a = 0{,}5\). Vì \(\cosh(0{,}5) \approx 1{,}12763\) nên $$y = 10 \times 1{,}12763 \approx 11{,}2763$$ Độ võng là \(y - a \approx 1{,}2763\), và độ dốc là \(\sinh(0{,}5) \approx 0{,}52110\).
Câu hỏi thường gặp
Đường cong dây xích có phải là parabol không? Không. Chúng trông khá giống nhau ở phần đáy, nhưng một sợi dây treo tự do tuân theo hàm cosh, còn parabol (\(y = kx^2\)) lại mô tả tải trọng được phân bố đều theo phương ngang, chẳng hạn như mặt cầu của một cây cầu treo.
Hằng số a biểu thị điều gì? Nó bằng lực căng theo phương ngang chia cho trọng lượng trên một đơn vị chiều dài của dây cáp, và cũng chính là độ cao của đỉnh so với đường chuẩn (directrix).
Vì sao a không thể bằng 0? Do phép tính bắt buộc phải chia x cho a nên trường hợp \(a = 0\) là không xác định; khi đó máy tính sẽ trả về giá trị 0.
