什么是悬链线？
悬链线（catenary）是指一条柔软的链条或缆绳，仅在两端被固定、其余部分在自身重力作用下自由下垂时所形成的曲线形状。它看上去很像抛物线，但真正的曲线由双曲余弦函数描述，即 \(y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)\)。常数 a 决定了曲线的「深浅」：a 越大，曲线越平坦、绷得越紧；a 越小，下垂就越深。
如何使用本计算器
输入悬链线常数 a，以及从最低点（顶点）算起的水平位置 x。计算器会返回该点的曲线高度 y、相对顶点的垂度（\(y - a\)）以及斜率（\(dy/dx\)）。顶点位于 \(x = 0\) 处，此时 \(y = a\)，斜率为 0。
公式详解
高度为 $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$其中 \(\cosh\) 表示双曲余弦。对其求一次导数即可得到斜率：$$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$在顶点处（\(x = 0\)），\(\cosh(0) = 1\)，因此 \(y = a\)；\(\sinh(0) = 0\)，因此切线为水平方向。相对最低点的垂度即为 \(y - a\)。
实例演算
取 \(a = 10\)、\(x = 5\)，则 \(x/a = 0.5\)。\(\cosh(0.5) \approx 1.12763\)，于是 $$y = 10 \times 1.12763 \approx 11.2763$$垂度为 \(y - a \approx 1.2763\)，斜率为 \(\sinh(0.5) \approx 0.52110\)。
常见问题
悬链线和抛物线是一回事吗？不是。两者在底部附近看起来很相似，但自由下垂的链条遵循 \(\cosh\) 函数；而抛物线（\(y = kx^2\)）描述的是沿水平方向均匀分布的载荷，例如悬索桥的桥面。
常数 a 代表什么？它等于水平方向的张力除以缆绳单位长度的重量，同时也是顶点到准线的高度。
为什么 a 不能为零？计算中需要用 x 除以 a，因此 \(a = 0\) 时无定义；在这种情况下，计算器将返回零。
