Zincir eğrisi (katener) nedir?
Zincir eğrisi ya da bilimsel adıyla katener, iki ucundan asılı esnek bir zincirin veya kablonun yalnızca kendi ağırlığı altında serbestçe sarkarken aldığı şekildir. İlk bakışta bir parabolü andırsa da, gerçek eğri hiperbolik kosinüs fonksiyonuyla tanımlanır: $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$. Buradaki a sabiti eğrinin ne kadar "derin" veya "düz" olacağını belirler: büyük bir a değeri daha düz ve gergin bir eğri verirken, küçük bir a değeri daha derin bir sarkma oluşturur.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Katener sabiti a değerini ve en alçak noktadan (tepe noktası) ölçülen yatay konum x değerini girin. Araç size o noktadaki eğri yüksekliği y, tepe noktasına göre sarkma \(y - a\) ve eğim \(\frac{dy}{dx}\) değerlerini verir. Tepe noktası \(x = 0\) konumundadır; burada \(y = a\) ve eğim \(= 0\)'dır.
Formülün açıklaması
Yükseklik $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ ile bulunur; burada cosh hiperbolik kosinüstür. Bir kez türev alındığında eğim elde edilir: $$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ Tepe noktasında (\(x = 0\)), \(\cosh(0) = 1\) olduğundan \(y = a\) olur ve \(\sinh(0) = 0\) olduğundan teğet yataydır. En alçak noktaya göre sarkma ise basitçe \(y - a\)'dır.
Örnek çözüm
\(a = 10\) ve \(x = 5\) alalım. Bu durumda \(\frac{x}{a} = 0{,}5\) olur. \(\cosh(0{,}5) \approx 1{,}12763\) olduğundan $$y = 10 \times 1{,}12763 \approx 11{,}2763$$ bulunur. Sarkma \(y - a \approx 1{,}2763\), eğim ise \(\sinh(0{,}5) \approx 0{,}52110\)'dur.
Sıkça sorulan sorular
Zincir eğrisi ile parabol aynı şey midir? Hayır. Alt kısımda birbirlerine benzeseler de, asılı bir zincir cosh fonksiyonunu izlerken parabol (\(y = kx^2\)) yatay boyunca eşit dağılan bir yükü, örneğin bir asma köprünün tabliyesini tanımlar.
a sabiti neyi temsil eder? a, yatay gerilmenin kablonun birim uzunluk başına ağırlığına bölünmesine eşittir; aynı zamanda tepe noktasının doğrultman (direktris) üzerindeki yüksekliğidir.
a neden sıfır olamaz? x değerini a'ya bölmek gerektiğinden \(a = 0\) tanımsızdır; bu durumda hesaplama aracı sonuç olarak sıfır döndürür.
