什麼是懸鏈線？
懸鏈線（catenary）是一條柔軟的鏈條或纜繩，只在兩端被固定、其餘部分僅靠自身重量自然下垂時所形成的曲線。它乍看之下很像拋物線，但真正描述這條曲線的，其實是雙曲餘弦函數 \( y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right) \)。常數 a 決定曲線的「深淺」：a 越大，曲線越平緩、越繃緊；a 越小，下垂幅度就越深。
計算器使用說明
請輸入懸鏈線常數 a，以及從最低點（頂點）量起的水平位置 x。計算器會回傳曲線高度 y、相對頂點的垂度（\( y - a \)），以及該點的斜率（\( \frac{dy}{dx} \)）。頂點位於 \( x = 0 \) 處，此時 \( y = a \)，斜率為 \( 0 \)。
公式解析
高度為 $$ y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right) $$ 其中 cosh 為雙曲餘弦函數。對其微分一次即得斜率 $$ \frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right) $$ 在頂點處（\( x = 0 \)），\( \cosh(0) = 1 \)，因此 \( y = a \)；\( \sinh(0) = 0 \)，因此切線呈水平。相對最低點的垂度，就只是 \( y - a \)。
範例演算
假設 \( a = 10 \)、\( x = 5 \)，則 \( \frac{x}{a} = 0.5 \)。\( \cosh(0.5) \approx 1.12763 \)，所以 $$ y = 10 \times 1.12763 \approx 11.2763 $$ 垂度為 \( y - a \approx 1.2763 \)，斜率則為 \( \sinh(0.5) \approx 0.52110 \)。
常見問題
懸鏈線和拋物線一樣嗎？不一樣。兩者在最低點附近看起來很像，但自然下垂的鏈條遵循的是 cosh 函數；而拋物線（\( y = kx^2 \)）描述的是沿水平方向均勻分布的荷載，例如吊橋的橋面。
常數 a 代表什麼？它等於水平張力除以纜繩單位長度的重量，同時也是頂點相對於準線（directrix）的高度。
為什麼 a 不能為零？由於公式中需要將 x 除以 a，因此 \( a = 0 \) 時無定義；遇到這種情況，計算器會回傳零。
