加權曲線迴歸計算器

輸入計算

資料（表格輸入）— x、y、f（次數） 1 2 1 2 3 2 3 5 1 Enter one (x, y, frequency) row per line, values separated by spaces or commas. Frequency defaults to 1 if omitted and must be ≥ 0. At least 2 rows required.

迴歸類型 Linear: y = A + B·x Logarithmic: y = A + B·ln(x) e-Exponential: y = A·e^(B·x) ab-Exponential: y = A·B^x Power: y = A·x^B 反比：y = A + B/x Quadratic: y = A + B·x + C·x^2

有效位數 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

結果

擬合方程式

y = 0.250000 + 1.50000*x

A	0.25
B	1.5
相關係數 r	0.9733285268

Correlation guide: 0.7 < |r| ≤ 1 strong; 0.4 < |r| < 0.7 moderate; 0.2 < |r| < 0.4 weak; 0 ≤ |r| < 0.2 none.

什麼是加權曲線迴歸計算器？

這個工具會以次數加權的最小平方法，將一組 (x, y, 次數) 資料點擬合至七種曲線模型之一。每個資料點會依其次數 f 重複計算，因此出現多次的觀測值會按比例擁有更大的影響力。這是一個純數學／統計工具，在任何地區的計算方式都完全相同。

加權迴歸擬合一條穿過各點的曲線，點的大小反映其頻率權重。

使用方法

每一列輸入一筆資料，格式為 x y f（數值之間以空格或逗號分隔）。次數 f 可省略，預設為 1，且必須大於或等於 0。接著選擇迴歸類型與要顯示的有效位數，即可讀取擬合出的係數 A、B（二次模型還有 C）、迴歸方程式，以及相關係數 r。

公式說明

多數模型會先經過線性化處理：設定轉換後的變數 X 與 Y，並以權重 \(w=f\) 計算 \(N=\Sigma w\)，接著求 \(S_{xx}=\Sigma wX^2-(\Sigma wX)^2/N\)、\(S_{yy}=\Sigma wY^2-(\Sigma wY)^2/N\)、\(S_{xy}=\Sigma wXY-(\Sigma wX)(\Sigma wY)/N\)。斜率 \(b=S_{xy}/S_{xx}\)、截距 \(a=\bar{Y}-b\cdot\bar{X}\)、相關係數 \(r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}\)。係數 A、B 再依各模型反轉換還原。二次方程式 \(y=A+Bx+Cx^2\) 則透過求解加權 \(3\times 3\) 正規方程組來擬合，其 r 為複相關係數 \(\sqrt{R^2}\)。

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最小平方法最小化垂直殘差平方的加權和。

計算範例

以線性模型搭配資料列 (1,2,1)、(2,3,2)、(3,5,1)：\(N=4\)、\(\Sigma wx=8\)、\(\Sigma wy=13\)、\(\Sigma wx^2=18\)、\(\Sigma wxy=29\)、\(\Sigma wy^2=47\)。則 \(S_{xx}=2\)、\(S_{xy}=3\)、\(S_{yy}=4.75\)，因此 \(B=1.5\)、\(A=0.25\)，\(r=3/\sqrt{9.5}=0.9733\)。擬合方程式為 $$y = 0.25 + 1.5\cdot x$$

常見問題

相關係數代表什麼？\(0.7<|r|\le 1\) 為高度相關，\(0.4<|r|<0.7\) 為中度相關，\(0.2<|r|<0.4\) 為低度相關，\(0\le|r|<0.2\) 則幾乎無相關。

為什麼有些模型無法使用？對數與冪模型需要 \(x>0\)；e 指數、ab 指數與冪模型需要 \(y>0\)；反比模型需要 \(x\ne 0\)（因為轉換過程用到 \(\ln\) 或 \(1/x\)）。

有效位數會改變答案嗎？不會，它只影響顯示的位數多寡。