什么是加权曲线回归计算器？
本工具采用频数加权最小二乘法，将七种曲线模型之一拟合到一组 (x, y, 频数) 数据点上。每个数据点会按其频数 f 重复计入，因此重复出现的观测值会按比例发挥更大的影响。它是一款纯数学／统计工具，在任何地区使用结果都完全一致。
使用方法
每行输入一组数据，格式为 x y f（数值之间用空格或逗号分隔）。频数 f 可省略，默认值为 1，且不得小于 0。选择回归类型和要显示的有效数字位数，即可读取拟合系数 \(A\)、\(B\)（二次模型还有 \(C\)）、回归方程以及相关系数 \(r\)。
计算公式
大多数模型都经过线性化处理：用变换后的变量 \(X\)、\(Y\) 和权重 \(w=f\)，先计算 \(N=\Sigma w\)，再求 \(S_{xx}=\Sigma wX^2-(\Sigma wX)^2/N\)、\(S_{yy}=\Sigma wY^2-(\Sigma wY)^2/N\)、\(S_{xy}=\Sigma wXY-(\Sigma wX)(\Sigma wY)/N\)。斜率 \(b=S_{xy}/S_{xx}\)，截距 \(a=\bar{Y}-b\cdot\bar{X}\)，相关系数 \(r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}\)。系数 \(A\)、\(B\) 再按各模型反变换得到。二次模型 \(y=A+Bx+Cx^2\) 则通过求解加权 \(3\times 3\) 正规方程组拟合，其 \(r\) 为复相关系数 \(\sqrt{R^2}\)。
实例演算
以线性模型为例，数据行为 (1,2,1)、(2,3,2)、(3,5,1)：\(N=4\)，\(\Sigma wx=8\)，\(\Sigma wy=13\)，\(\Sigma wx^2=18\)，\(\Sigma wxy=29\)，\(\Sigma wy^2=47\)。于是 \(S_{xx}=2\)，\(S_{xy}=3\)，\(S_{yy}=4.75\)，从而 \(B=1.5\)，\(A=0.25\)，\(r=3/\sqrt{9.5}=0.9733\)。最终拟合方程为 $$y = 0.25 + 1.5\cdot x$$
常见问题
相关系数代表什么？\(0.7<|r|\le 1\) 为强相关，\(0.4<|r|<0.7\) 为中等相关，\(0.2<|r|<0.4\) 为弱相关，\(0\le|r|<0.2\) 为无相关。
为什么有些模型会被拒绝？对数模型和幂模型要求 \(x>0\)；e 指数、ab 指数和幂模型要求 \(y>0\)；反比例模型要求 \(x\ne 0\)（因为这些变换会用到 \(\ln\) 或 \(1/x\)）。
有效数字位数会影响结果吗？不会，它只改变显示的小数位数，不改变实际计算结果。
