曲线回归分析计算器（线性、对数、幂函数等）

输入计算

结果

拟合方程

y = 1.3 + 0.9x

based on 5 data points

A（截距 / 比例系数）	1.3
B（斜率 / 指数）	0.9
相关系数 r	0.9
x 的均值（中间计算量）	3
y 的均值（中间计算量）	4

相关强度参考（|r|）：

0.7 < |r| ≤ 1 — strong correlation
0.4 < |r| < 0.7 — moderate correlation
0.2 < |r| < 0.4 — weak correlation
0 ≤ |r| < 0.2 — no correlation

这个计算器能做什么

曲线回归分析计算器会把你选定的数学曲线拟合到一组 (x, y) 数据点上。它会给出拟合后的系数（A、B，二次模型还有 C）、明确的拟合方程，以及衡量曲线与数据吻合程度的相关系数 $r$。这是纯粹的统计运算，在任何地方结果都完全一致——所有数值都是无量纲的数字，不带任何单位。

支持的模型

你可以拟合七类曲线：线性（$y = A + B\cdot x$）、对数（$y = A + B\cdot \ln x$）、e 指数（$y = A\cdot e^{B\cdot x}$）、ab 指数（$y = A\cdot B^{x}$）、幂函数（$y = A\cdot x^{B}$）、反比例（$y = A + B/x$）以及二次（$y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}$）。除二次模型外，其余每种模型都是先对变量做变换（取对数或取倒数），再用普通最小二乘法拟合，最后把系数反变换回去。

六个小型散点图，在相同坐标轴上展示不同的拟合曲线形状 — 六种受支持的回归模型及其特征曲线形状。

使用方法

输入数据时，每行写一组 (x, y)，例如 1,2。从下拉菜单中选择回归类型，设置显示位数，然后提交即可。对数和幂函数模型要求所有 $x > 0$；指数和幂函数模型要求所有 $y > 0$；反比例模型要求 $x \neq 0$。二次模型至少需要三个数据点。

公式解析

对于变换后的变量 $u$ 和 $v$，最小二乘法给出斜率 $$B = \frac{N\sum uv - \sum u\sum v}{N\sum u^{2} - (\sum u)^{2}}$$ 截距 $$A = \frac{\sum v - B\sum u}{N}$$ 相关系数 $r$ 的分子与上式相同，分母为 $x$ 与 $y$ 变差项乘积的平方根。对于非线性模型，在对数空间中拟合后，$A$ 和 $B$ 通过 $\exp(\dots)$ 还原。

实例演算（线性）

数据：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,4)、(5,6)。此时 $N=5$，$\sum x=15$，$\sum y=20$，$\sum x^{2}=55$，$\sum xy=69$，$\sum y^{2}=90$。于是 $$B = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0.9$$ $$A = \frac{20 - 0.9\cdot 15}{5} = 1.3$$ 拟合直线为 $y = 1.3 + 0.9x$，$r = \dfrac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0.9$，属于很强的正相关。