这个计算器的用途
本工具用于计算正态分布的百分位点（也称为分位数或临界值）。你只需输入一个累积概率，它就会返回分布坐标轴上的数值 \(x\)，使得指定比例的概率落在该点之下（或之上）。它是正态累积分布函数（CDF）的逆运算。当均值为 0、标准差为 1 时，返回的就是大家熟悉的标准正态 \(z\) 值。这是放之四海皆准的纯数学，在任何地方计算结果都一致。
使用方法
先选择一种累积方式。如果你的概率指的是左尾面积 \(P(X \le x)\)，就选择下侧累积 P；如果指的是右尾面积 \(P(X > x)\)，则选择上侧累积 Q。输入一个严格介于 0 和 1 之间的概率值。接着填入分布的均值和标准差（标准正态分布请填 0 和 1）。计算结果会显示百分位点 \(x\) 及其标准化后的 \(z\) 分数。
公式详解
设 \(\Phi\) 为标准正态 CDF。第一步，把输入转换为左尾概率：下侧方式下 \(p_{\text{lower}} = P\)，上侧方式下 \(p_{\text{lower}} = 1 - Q\)。第二步，求逆正态 CDF（probit 函数）：\(z = \Phi^{-1}(p_{\text{lower}})\)。最后进行反标准化：
$$x = \mu + \sigma \cdot z$$我们采用 Acklam 有理逼近法，并结合一步牛顿迭代精修，可达到约 \(1\mathrm{e}\text{-}9\) 的精度。
实例演算
采用上侧方式，\(Q = 0.025\)，\(\mu = 100\)，\(\sigma = 15\)。先转换：\(p_{\text{lower}} = 1 - 0.025 = 0.975\)。求分位数：\(z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964\)。再反标准化：
$$x = 100 + 15 \times 1.959964 \approx 129.40$$也就是说，该分布约有 2.5% 的概率落在 129.4 以上。
常见问题
为什么 \(z\) 有时会等于 \(x\)？只有在标准正态分布的情形下（\(\mu = 0\)，\(\sigma = 1\)）才会出现 \(x = z\)。
当 \(p = 0.5\) 时会怎样？在下侧方式下，分位数正好等于均值，因为此时 \(z = 0\)。
可以输入 0 或 1 吗？不可以。分位数在 0 处趋于 \(-\infty\)，在 1 处趋于 \(+\infty\)，因此概率必须严格介于 0 和 1 之间，且 \(\sigma\) 必须大于 0。
