这个计算器能做什么
这是一款面向指数分布的纯数学统计工具，用于由累积概率和尺度参数 \(b\) 求出分位点 \(x\)（也称为分位数或逆累积分布函数）。指数分布具有普适性——它描述以恒定平均速率发生的独立事件之间的等待时间——因此本计算器在任何场景下都通用，结果不受地区或行业限制。
使用方法
首先选择累积方式。如果你输入的概率是下侧概率 \(P\)（即 \(x\) 左侧的面积），请选择下侧累积 P；如果输入的是上侧概率 \(Q\)（即 \(x\) 右侧的面积），则选择上侧累积 Q。接着填入介于 0 到 1 之间的概率值，再输入尺度参数 \(b\)，该值必须为正数。尺度 \(b\) 等于分布的均值，满足 \(b = 1/\lambda\)。计算得到的结果 \(x\) 与 \(b\) 使用相同的单位。
公式详解
指数分布的概率密度函数为 \(f(x) = (1/b)\cdot\exp(-x/b)\)（\(x \ge 0\)）。其下侧累积函数为 \(P(x) = 1 - \exp(-x/b)\)，上侧累积函数为 \(Q(x) = \exp(-x/b)\)。对它们求逆即可得到分位点。在下侧模式下，$$x = -b\cdot\ln(1 - P)$$在上侧模式下，$$x = -b\cdot\ln(Q)$$两者本质上都可归结为 \(x = -b\cdot\ln(Q)\)，其中 \(Q\) 为上侧概率，\(\ln\) 表示自然对数（以 \(e\) 为底）。
实例演算
假设累积方式为下侧，概率 \(P = 0.4\)，尺度 \(b = 1\)。则 $$x = -1\cdot\ln(1 - 0.4) = -\ln(0.6) = 0.51083$$验算：\(P(0.51083) = 1 - \exp(-0.51083) = 1 - 0.6 = 0.4\)，结果正确。
常见问题
尺度参数 \(b\) 是什么？ 它就是分布的均值，\(b = 1/\lambda\)，其中 \(\lambda\) 为速率。\(b\) 越大，说明事件平均需要等待的时间越长。
为什么结果会是无穷大？ 在下侧模式中 \(P = 1\)（或上侧模式中 \(Q = 0\)）对应整条尾部，会把 \(x\) 推向无穷大。此时计算器会直接提示这种情况，而不会返回一个具体数值。
下侧模式和上侧模式该选哪个？ 当你已知 \(x\) 左侧的累积概率（例如中位数等百分位）时，选择下侧模式；当你已知 \(x\) 之外的生存概率或超出概率时，选择上侧模式。
