ماذا تفعل هذه الحاسبة
هذه أداة إحصائية رياضية بحتة خاصة بالتوزيع الأسي. تحسب نقطة النسبة (وتُسمى أيضًا الكميل أو الدالة العكسية للتوزيع التراكمي) \(x\) انطلاقًا من احتمال تراكمي ومعامل القياس \(b\). التوزيع الأسي توزيع عالمي الانتشار، إذ يُستخدم لنمذجة أزمنة الانتظار بين الأحداث المستقلة التي تقع بمعدل متوسط ثابت، ولذلك تنطبق هذه الحاسبة بالطريقة نفسها في كل مكان.
كيفية الاستخدام
اختر نمط الاحتمال التراكمي أولًا. حدّد الاحتمال التراكمي السفلي P إذا كان الاحتمال الذي تُدخله هو احتمال الذيل الأيسر \(P\) (أي المساحة الواقعة على يسار \(x\))، أو حدّد الاحتمال التراكمي العلوي Q إذا كان احتمال الذيل الأيمن \(Q\) (المساحة الواقعة على اليمين). أدخل قيمة الاحتمال بين 0 و1، ثم أدخل معامل القياس \(b\) الذي يجب أن يكون موجبًا. يساوي معامل القياس \(b\) متوسط التوزيع، حيث \(b = 1/\lambda\). وتظهر النتيجة \(x\) بالوحدات نفسها التي يُقاس بها \(b\).
شرح المعادلة
دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الأسي هي \(f(x) = (1/b)\cdot\exp(-x/b)\) عندما \(x \ge 0\). ودالته التراكمية السفلية هي \(P(x) = 1 - \exp(-x/b)\)، أما دالته التراكمية العلوية فهي \(Q(x) = \exp(-x/b)\). وبعكس هاتين الدالتين نحصل على نقطة النسبة. في النمط السفلي: $$x = -b\cdot\ln(1 - P)$$ وفي النمط العلوي: $$x = -b\cdot\ln(Q)$$ وكلاهما يؤول إلى الصيغة \(x = -b\cdot\ln(Q)\) حيث \(Q\) هو احتمال الذيل العلوي، و \(\ln\) هو اللوغاريتم الطبيعي (الأساس \(e\)).
مثال محلول
لنفترض أن النمط التراكمي سفلي، وأن الاحتمال \(P = 0.4\)، ومعامل القياس \(b = 1\). عندئذ $$x = -1\cdot\ln(1 - 0.4) = -\ln(0.6) = 0.51083$$ وللتحقق: \(P(0.51083) = 1 - \exp(-0.51083) = 1 - 0.6 = 0.4\). وهي نتيجة صحيحة.
الأسئلة الشائعة
ما هو معامل القياس b؟ هو متوسط التوزيع، حيث \(b = 1/\lambda\)، و\(\lambda\) هو المعدل. كلما زادت قيمة \(b\) طالت أزمنة وقوع الأحداث في المتوسط.
لماذا قد تكون النتيجة لا نهائية؟ في النمط السفلي عندما \(P = 1\) (أو في النمط العلوي عندما \(Q = 0\)) يقابل ذلك الذيل بأكمله، وهو ما يدفع \(x\) إلى ما لا نهاية. وفي هذه الحالة تُبيّن الحاسبة ذلك بدلًا من إرجاع عدد محدد.
النمط السفلي أم العلوي — أيهما أختار؟ استخدم النمط السفلي عندما تعرف الاحتمال التراكمي حتى النقطة \(x\) (مئين مثل الوسيط). واستخدم النمط العلوي عندما تعرف احتمال البقاء أو التجاوز بعد النقطة \(x\).
