ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب حاسبة النقطة المئوية لمربع كاي العكسي الكمّية x لتوزيع مربع كاي عند احتمال تراكمي ودرجات حرية محددة. بعبارة أخرى، تحلّ الدالة العكسية للتوزيع التراكمي (inverse CDF)، فتعيد القيمة الحرجة المستخدمة في اختبارات الفرضيات وفترات الثقة وتحليل جودة المطابقة (goodness-of-fit). هذه رياضيات بحتة وعالمية، وتنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
طريقة الاستخدام
اختر نمط الاحتمال التراكمي أولاً. حدّد الذيل الأيسر إذا كان احتمالك P هو \(P(X \le x)\) (المساحة إلى اليسار). وحدّد الذيل الأيمن إذا كان احتمالك Q هو \(P(X > x)\) (المساحة إلى اليمين، وهي الصيغة الشائعة للقيم الحرجة). أدخل الاحتمال بين 0 و1، ثم درجات الحرية (nu) التي يجب أن تكون قيمة موجبة. تعيد الحاسبة قيمة x.
الصيغة الرياضية
الدالة التراكمية لمربع كاي بدرجات حرية nu هي \(F(x;\ \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{x}{2}\right)\)، حيث P هي دالة غاما الناقصة السفلية المُنظَّمة. في حالة الذيل الأيسر نحلّ المعادلة
$$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$أما في حالة الذيل الأيمن فنضع p_eff = 1 - Q ثم نحلّ
$$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$تُعكَس المعادلة عددياً باستخدام طريقة التنصيف (bisection) مع تحديد قوي للمجال على الدالة \(g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}\).
مثال محلول
الذيل الأيمن، \(Q = 0.05\)، \(\nu = 10\). عندئذٍ \(p_{\text{eff}} = 1 - 0.05 = 0.95\)، فنحلّ \(F(x;\ 10) = 0.95\)، أي \(\text{regularizedGammaP}(5, x/2) = 0.95\). الجذر هو \(x \approx 18.307\)، وهي القيمة الحرجة المألوفة لمربع كاي عند 10 درجات حرية ومستوى ذيل أيمن قدره 5%.
الأسئلة الشائعة
ما المقصود بدرجات الحرية هنا؟ هي معامل الشكل nu لتوزيع مربع كاي؛ ويقابلها في توزيع غاما معامل شكل \(\nu/2\) ومعامل قياس (scale) يساوي 2.
ما الفرق بين الذيل الأيسر والأيمن؟ يستخدم الذيل الأيسر المساحة الواقعة على يسار x، بينما يستخدم الذيل الأيمن المساحة الواقعة على يمين x. وعادةً ما تذكر جداول القيم الحرجة احتمالات الذيل الأيمن.
لماذا قد تكون x مساوية للصفر أو كبيرة جداً؟ كلما اقترب احتمال الذيل الأيسر الفعلي من 0، اقتربت x من الصفر؛ وكلما اقترب من 1، تزايدت x دون حدّ.
