逆カイ二乗分布のパーセント点（逆CDF）計算 - 臨界値を求める

計算を入力してください

結果

パーセント点（x）

18.307038

カイ二乗分布の分位点

分布	カイ二乗分布（逆CDF）

この計算ツールでできること

逆カイ二乗分布のパーセント点計算ツールは、累積確率と自由度を指定したときに、カイ二乗分布の分位点 $x$ を求めるものです。言い換えれば、累積分布関数（CDF）の逆関数を解き、仮説検定・信頼区間・適合度検定などで用いられる臨界値を返します。これは普遍的な純粋数学であり、どの国・地域でもまったく同じ結果が得られます。

下側の裾の面積 p を塗りつぶし、分位点 x を示したカイ二乗密度曲線 — パーセント点 $x$ は、カイ二乗曲線の下側の裾の面積が確率 $p$ に等しくなる値です。

使い方

まず累積確率の方式を選びます。確率 $P$ が $P(X \le x)$（左側の面積）を表す場合は下側を、確率 $Q$ が $P(X > x)$（右側の面積。臨界値ではこちらが一般的）を表す場合は上側を選んでください。次に 0 から 1 の間の確率を入力し、続いて自由度 $\nu$（正の値）を入力します。これでパーセント点 $x$ が算出されます。

計算式

自由度 $\nu$ のカイ二乗分布の CDF は $F(x;\ \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{x}{2}\right)$ で表されます。ここで $P$ は正則化された下側不完全ガンマ関数です。下側の場合は次を解きます。

$$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$

上側の場合は $p_{\text{eff}} = 1 - Q$ とおいて次を解きます。

$$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$

この方程式は $g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}$ に対する安定した区間二分法（ブラケット法）を用いて数値的に逆解きします。

計算例

上側、$Q = 0.05$、$\nu = 10$ の場合を考えます。このとき $p_{\text{eff}} = 1 - 0.05 = 0.95$ なので、$F(x;\ 10) = 0.95$、すなわち $\text{regularizedGammaP}(5, x/2) = 0.95$ を解きます。その解は $x \approx 18.307$ となり、これは自由度 10・上側 5% 水準でよく知られたカイ二乗の臨界値です。