यह कैलकुलेटर क्या करता है
इनवर्स काई-स्क्वायर परसेंट पॉइंट कैलकुलेटर दी गई संचयी प्रायिकता और स्वतंत्रता की कोटि के आधार पर काई-स्क्वायर वितरण का क्वांटाइल \(x\) ज्ञात करता है। दूसरे शब्दों में, यह इनवर्स संचयी वितरण फलन (इनवर्स CDF) को हल करता है और वही क्रांतिक मान (critical value) लौटाता है जिसका उपयोग परिकल्पना परीक्षण, विश्वास अंतराल और गुडनेस-ऑफ़-फ़िट विश्लेषण में होता है। यह विशुद्ध, सार्वभौमिक गणित है और हर जगह एक समान लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले संचयी मोड चुनें। यदि आपकी प्रायिकता P का अर्थ \(P(X \le x)\) है (यानी \(x\) के बाईं ओर का क्षेत्रफल), तो Lower tail चुनें। यदि आपकी प्रायिकता Q का अर्थ \(P(X > x)\) है (यानी \(x\) के दाईं ओर का क्षेत्रफल — क्रांतिक मानों के लिए सबसे आम रूप), तो Upper tail चुनें। 0 और 1 के बीच की प्रायिकता दर्ज करें, फिर स्वतंत्रता की कोटि (nu) भरें, जो धनात्मक होनी चाहिए। कैलकुलेटर आपको \(x\) लौटा देगा।
सूत्र
nu स्वतंत्रता कोटि वाले काई-स्क्वायर वितरण का CDF होता है \(F(x;\ \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{x}{2}\right)\), जहाँ \(P\) नियमित निम्न अपूर्ण गामा फलन (regularized lower incomplete gamma function) है। Lower tail के लिए हम हल करते हैं $$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$ Upper tail के लिए हम \(p_{\text{eff}} = 1 - Q\) रखते हैं और हल करते हैं $$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$ इस समीकरण को संख्यात्मक रूप से उलटा जाता है — \(g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}\) पर एक मज़बूत ब्रैकेटिंग द्विभाजन (bisection) विधि से।
हल किया हुआ उदाहरण
Upper tail, \(Q = 0.05\), \(\nu = 10\) मान लें। तब \(p_{\text{eff}} = 1 - 0.05 = 0.95\), अतः हमें \(F(x;\ 10) = 0.95\) हल करना है, यानी \(\text{regularizedGammaP}(5, x/2) = 0.95\)। इसका मूल \(x \approx 18.307\) आता है — 10 स्वतंत्रता कोटि के लिए 5% अपर-टेल स्तर का जाना-पहचाना काई-स्क्वायर क्रांतिक मान।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
यहाँ स्वतंत्रता की कोटि का क्या मतलब है? यह काई-स्क्वायर वितरण का आकार प्राचल (shape parameter) \(\nu\) है; इसके समतुल्य गामा आकार \(\nu/2\) और स्केल 2 होता है।
Lower tail और upper tail में अंतर? Lower tail में \(x\) के बाईं ओर का क्षेत्रफल लिया जाता है; upper tail में \(x\) के दाईं ओर का। क्रांतिक-मान वाली तालिकाएँ आमतौर पर अपर-टेल प्रायिकताएँ ही दर्शाती हैं।
x कभी 0 या बहुत बड़ा क्यों हो सकता है? जैसे-जैसे प्रभावी लोअर-टेल प्रायिकता 0 की ओर बढ़ती है, \(x\) भी 0 की ओर जाता है; और जैसे-जैसे यह 1 की ओर बढ़ती है, \(x\) बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है।
