यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल गामा वितरण का परसेंटेज पॉइंट (जिसे क्वांटाइल या इन्वर्स संचयी वितरण फलन भी कहते हैं) निकालता है। किसी प्रायिकता और गामा पैरामीटर देने पर यह वह मान x लौटाता है जिस पर गामा संचयी वितरण फलन (CDF) उस प्रायिकता के बराबर हो जाता है। यह गामा CDF का व्युत्क्रम (इन्वर्स) है और विश्वसनीयता इंजीनियरिंग, बेज़ियन सांख्यिकी, कतार सिद्धांत (queueing theory) तथा वर्षा / जल-विज्ञान (hydrology) मॉडलिंग में व्यापक रूप से इस्तेमाल होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि आपकी प्रायिकता निचली संचयी प्रायिकता P है (x के बाईं ओर का क्षेत्रफल) या ऊपरी संचयी प्रायिकता Q (दाईं ओर का क्षेत्रफल)। प्रायिकता को कड़ाई से 0 और 1 के बीच दर्ज करें, साथ ही आकार पैरामीटर a (अल्फा, जो 0 से बड़ा होना चाहिए) और स्केल पैरामीटर b (थीटा, जो 0 से बड़ा होना चाहिए)। गामा वितरण का माध्य (mean) \(a \cdot b\) होता है। यदि आप ऊपरी प्रायिकता Q का उपयोग करते हैं, तो कैलकुलेटर व्युत्क्रमण से पहले उसे \(P = 1 - Q\) में बदल देता है।
सूत्र की व्याख्या
स्केल पैरामीटराइज़ेशन में गामा CDF इस प्रकार है: $$F(x) = P_{reg}\left(a,\ \frac{x}{b}\right)$$ जहाँ \(P_{reg}\) नियमित निचला अपूर्ण गामा फलन (regularized lower incomplete gamma function) है। \(y = \frac{x}{b}\) रखने से समस्या स्केल-मुक्त हो जाती है: \(P_{reg}(a, y) = P\) को हल करें, फिर \(x = b \cdot y\) लौटाएँ। नियमित अपूर्ण गामा फलन का मान छोटे y के लिए श्रेणी विस्तार (series expansion) से और बड़े y के लिए सतत भिन्न (continued fraction) से निकाला जाता है, जबकि व्युत्क्रमण के लिए विल्सन-हिल्फर्टी (Wilson-Hilferty) आरंभिक अनुमान को न्यूटन विधि से परिष्कृत किया जाता है, और सुरक्षा के तौर पर बाइसेक्शन का सहारा लिया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें प्रायिकता प्रकार = निचली, प्रायिकता = 0.95, आकार a = 2, स्केल b = 1। a = 2 के लिए CDF का बंद रूप (closed form) होता है \(1 - (1 + y)e^{-y}\)। $$1 - (1 + y)e^{-y} = 0.95$$ को हल करने पर y लगभग 4.7439 आता है, अतः x लगभग 4.7439 है। यदि इसके बजाय स्केल b = 3 हो, तो $$x = 3 \times 4.7439 = 14.2317$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
यदि a = 1 हो तो क्या होगा? तब गामा वितरण घातांकीय (Exponential) वितरण में बदल जाता है जिसका माध्य b होता है, और क्वांटाइल का सटीक बंद रूप होता है \(x = -b \cdot \ln(1 - P)\)।
कौन-सा पैरामीटराइज़ेशन उपयोग किया गया है? आकार a और स्केल b, इसलिए माध्य \(a \cdot b\) होता है। यदि आपके पास रेट (rate) पैरामीटर है, तो स्केल \(b = \frac{1}{rate}\)।
प्रायिकता 0 और 1 के बीच ही क्यों होनी चाहिए? ठीक 0 पर क्वांटाइल 0 होता है और ठीक 1 पर यह अनंत (infinite) हो जाता है, इसलिए केवल खुला अंतराल \((0, 1)\) ही परिमित परिणाम देता है।
