À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule le point de pourcentage (aussi appelé quantile ou fonction de répartition inverse) d'une loi Gamma. À partir d'une probabilité et des paramètres de la loi Gamma, il renvoie la valeur \(x\) pour laquelle la fonction de répartition (FdR) de la loi Gamma est égale à cette probabilité. Il s'agit de l'inverse de la FdR Gamma, abondamment utilisé en ingénierie de la fiabilité, en statistique bayésienne, en théorie des files d'attente ainsi que pour la modélisation des précipitations et en hydrologie.
Mode d'emploi
Indiquez d'abord si votre probabilité est une probabilité cumulée inférieure \(P\) (l'aire à gauche de \(x\)) ou une probabilité cumulée supérieure \(Q\) (l'aire à droite). Saisissez ensuite la probabilité, strictement comprise entre 0 et 1, le paramètre de forme \(a\) (alpha, qui doit être strictement positif) et le paramètre d'échelle \(b\) (thêta, lui aussi strictement positif). La moyenne de la loi Gamma vaut \(a\) multiplié par \(b\). Si vous utilisez une probabilité supérieure \(Q\), le calculateur la convertit d'abord en \(P = 1 - Q\) avant de procéder à l'inversion.
La formule expliquée
Dans la paramétrisation par l'échelle, la FdR de la loi Gamma s'écrit $$F(x) = P_{\text{rég}}\!\left(a,\ \frac{x}{b}\right)$$ où \(P_{\text{rég}}\) désigne la fonction gamma incomplète inférieure régularisée. En posant \(y = x/b\), le problème devient indépendant de l'échelle : on résout \(P_{\text{rég}}(a, y) = P\), puis on renvoie \(x = b\) multiplié par \(y\). La fonction gamma incomplète régularisée est évaluée à l'aide d'un développement en série pour les petites valeurs de \(y\) et d'une fraction continue pour les grandes valeurs ; l'inversion repose sur une estimation initiale de Wilson-Hilferty affinée par la méthode de Newton, avec une dichotomie comme solution de repli.
Exemple détaillé
Prenons un type de probabilité = inférieure, une probabilité = 0,95, une forme \(a = 2\) et une échelle \(b = 1\). Pour \(a = 2\), la FdR admet la forme close \(1 - (1 + y)e^{-y}\). En résolvant $$1 - (1 + y)e^{-y} = 0{,}95$$ on obtient \(y \approx 4{,}7439\), donc \(x \approx 4{,}7439\). Avec une échelle \(b = 3\), on a alors $$x = 3 \times 4{,}7439 = 14{,}2317$$
Foire aux questions
Que se passe-t-il si a = 1 ? La loi Gamma se réduit à une loi exponentielle de moyenne \(b\), et le quantile prend la forme close exacte \(x = -b \times \ln(1 - P)\).
Quelle paramétrisation est utilisée ? Le paramètre de forme \(a\) et le paramètre d'échelle \(b\), de sorte que la moyenne vaut \(a\) multiplié par \(b\). Si vous disposez d'un paramètre de taux (rate), l'échelle vaut \(b = 1 / \text{taux}\).
Pourquoi la probabilité doit-elle être comprise entre 0 et 1 ? En 0 exactement, le quantile vaut 0 et en 1 exactement il est infini ; seul l'intervalle ouvert \((0, 1)\) renvoie donc un résultat fini.
