Qu'est-ce que le calculateur de PGCD et PPCM ?
Cet outil calcule le plus grand commun diviseur (PGCD) — parfois noté PGDC dans d'anciens manuels — ainsi que le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres entiers. Le PGCD est le plus grand nombre qui divise les deux valeurs sans laisser de reste, tandis que le PPCM est le plus petit nombre que les deux valeurs divisent exactement. Ce sont des notions arithmétiques universelles, valables partout et enseignées dès le collège en France.
Comment l'utiliser
Saisissez vos deux entiers positifs dans les champs a et b, puis lisez le PGCD dans l'encadré mis en évidence et le PPCM dans le tableau ci-dessous. Le calculateur accepte n'importe quelle paire de nombres entiers et affiche les résultats instantanément.
La formule expliquée
Le PGCD se détermine grâce à l'algorithme d'Euclide : on remplace de façon répétée le couple \((a,\,b)\) par \((b,\,a \bmod b)\) jusqu'à ce que le second nombre devienne nul. Le premier nombre qui subsiste est alors le PGCD. Une fois le PGCD connu, le PPCM découle de l'identité $$\text{PPCM}(a,\,b) = \frac{a \times b}{\gcd(a,\,b)}$$ Cela fonctionne car le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM.
Exemple détaillé
Prenons \(a = 12\) et \(b = 18\). Avec Euclide : \(\gcd(12,\,18) \to \gcd(18,\,12) \to \gcd(12,\,6) \to \gcd(6,\,0) = 6\), donc le PGCD vaut 6. Ensuite $$\text{PPCM} = \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$$ On obtient donc \(\text{PGCD} = 6\) et \(\text{PPCM} = 36\).
FAQ
PGCD et plus grand commun diviseur, est-ce la même chose ? Oui — il s'agit exactement de la même valeur. En anglais, on parle de « greatest common factor » (GCF) ou de « greatest common divisor » (GCD), qui désignent toujours ce même nombre.
Et si un nombre est un multiple de l'autre ? Dans ce cas, le plus petit des deux est le PGCD et le plus grand est le PPCM. Par exemple, \(\text{PGCD}(4,\,12) = 4\) et \(\text{PPCM}(4,\,12) = 12\).
Cela fonctionne-t-il avec des nombres premiers ? Oui. Pour deux nombres premiers différents, le PGCD vaut toujours 1 et le PPCM est égal à leur produit.
