Qu'est-ce que la loi de Cauchy ?
La loi de Cauchy (également appelée loi de Lorentz ou loi de Cauchy-Lorentz) est une loi de probabilité continue définie par deux paramètres : un paramètre de position \(x_0\), qui correspond au sommet et à la médiane de la courbe, et un paramètre d'échelle \(\gamma\) strictement positif, qui représente la demi-largeur à mi-hauteur. Elle est célèbre pour ses queues épaisses : contrairement à la loi normale, la loi de Cauchy n'a ni espérance ni variance définies. La loi de Cauchy standard (canonique) prend \(x_0 = 0\) et \(\gamma = 1\), et coïncide avec une loi de Student à un degré de liberté. Cette calculatrice relève des mathématiques pures et s'applique partout de façon identique.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez le point \(x\) auquel vous souhaitez évaluer la loi, le paramètre de position \(x_0\) et le paramètre d'échelle \(\gamma\) (qui doit être strictement supérieur à zéro). La calculatrice renvoie la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure \(P(X > x)\). Pour la loi de Cauchy standard, laissez \(x_0 = 0\) et \(\gamma = 1\).
La formule expliquée
On définit d'abord la valeur centrée-réduite \(z = (x - x_0) / \gamma\). La densité de probabilité vaut $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)} = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$ La fonction de répartition est $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(z)$$ qui donne la probabilité cumulée inférieure ; la probabilité cumulée supérieure est simplement \(1 - F(x)\). Comme \(\arctan\) prend ses valeurs dans \((-\pi/2, \pi/2)\), la probabilité cumulée reste toujours strictement comprise entre 0 et 1.
Exemple chiffré
Prenons \(x = 1\), \(x_0 = 0\), \(\gamma = 1\). On a alors \(z = 1\). La densité vaut $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0{,}159155$$ Comme \(\arctan(1) = 0{,}785398\), la probabilité cumulée inférieure est $$0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0{,}785398 = 0{,}75$$ et la probabilité cumulée supérieure est \(0{,}25\).
Questions fréquentes
Pourquoi l'espérance et la variance ne sont-elles pas affichées ? Les queues de la loi de Cauchy sont si épaisses que son espérance et sa variance sont mathématiquement indéfinies : les afficher n'aurait donc aucun sens.
À quoi ressemble le sommet de la courbe ? En \(x = x_0\), la densité atteint sa valeur maximale, égale à \(\frac{1}{\pi \cdot \gamma}\), et les deux probabilités cumulées valent \(0{,}5\).
Et si \(\gamma\) est nul ou négatif ? Le paramètre d'échelle doit être strictement positif ; un \(\gamma\) nul ou négatif rend la loi indéfinie et est donc refusé.
