Qu'est-ce que le point de pourcentage de la loi F ?
Le point de pourcentage de la loi F (également appelé F inverse, quantile ou valeur critique) est la valeur x telle que la fonction de répartition de la loi F, avec d1 degrés de liberté au numérateur et d2 au dénominateur, atteigne une probabilité choisie. C'est l'inverse de la fonction de répartition (CDF) de la loi F, et il correspond précisément à la valeur critique que l'on recherche dans les tables de F pour l'ANOVA, les tests de significativité globale en régression et les tests d'égalité des variances (rapport de variances).
Comment utiliser le calculateur
Choisissez d'abord un mode cumulatif. Sélectionnez P cumulatif inférieur si votre probabilité est P = Pr(F ≤ x) — par exemple, P = 0,95 renvoie la valeur en dessous de laquelle se situe 95 % de la distribution. Optez pour Q cumulatif supérieur si vous disposez d'une probabilité de queue Q = Pr(F > x) — par exemple, Q = 0,05 renvoie la valeur critique supérieure classique à 5 %. Saisissez ensuite la probabilité (strictement comprise entre 0 et 1), les degrés de liberté du numérateur d1 et ceux du dénominateur d2, puis validez.
La formule expliquée
La fonction de répartition de la loi F s'écrit à l'aide de la fonction bêta incomplète régularisée \(I\) : en posant \(a = d_1/2\), \(b = d_2/2\) et le changement de variable \(w = d_1 \cdot x / (d_1 \cdot x + d_2)\), on obtient $$\text{CDF-F}(x) = I_w(a, b).$$ Pour l'inverser, le calculateur résout l'équation $$F_p = \left\{\, x : I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}\!\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right) = \text{P} \,\right\}$$ en \(w\) par dichotomie sur l'intervalle \((0, 1)\), en évaluant \(I_w\) grâce à un log-gamma de Lanczos et à la fraction continue des Numerical Recipes. Il effectue ensuite la substitution inverse \(x = d_2 \cdot w / (d_1 \cdot (1 - w))\). En mode supérieur, la probabilité cible devient \(P_{\text{cible}} = 1 - Q\).
Exemple résolu
Pour P = 0,95, d1 = 5 et d2 = 10, on cherche la valeur critique F supérieure à 5 %. Avec \(a = 2{,}5\) et \(b = 5\), l'inversion de \(I_w(2{,}5, 5) = 0{,}95\) donne \(w \approx 0{,}6245\), puis $$x = \frac{10 \times 0{,}6245}{5 \times 0{,}3755} \approx 3{,}3258,$$ ce qui correspond à la valeur tabulée \(F_{0,05}(5, 10) = 3{,}3258\).
FAQ
Quelle est la différence entre P et Q ? P est la probabilité de la queue inférieure (cumulative) jusqu'à x ; Q est la probabilité de la queue supérieure au-delà de x. Elles sont liées par la relation \(P = 1 - Q\).
Pourquoi la probabilité doit-elle être strictement comprise entre 0 et 1 ? Une probabilité de 0 correspond au quantile \(x = 0\) et une probabilité de 1 correspond à \(x \to \infty\) : ni l'une ni l'autre ne constitue une valeur critique finie et exploitable.
Les degrés de liberté peuvent-ils être non entiers ? Oui — le calcul fonctionne pour tout réel positif d1 et d2, même si les applications en ANOVA utilisent généralement des entiers.
