Calculateur de point de pourcentage de la loi de Student (t inverse / quantile)

Entrez le calcul

Probabilité cumulée P Une probabilité strictement comprise entre 0 et 1 (par exemple 0,975).

Type de queue Lower (P = area to the LEFT of t) Upper (P = area to the RIGHT of t)

Degrés de liberté (nu) Toute valeur positive ; généralement un entier positif.

Résultats

Point de pourcentage t

2,228139

quantile vérifiant F(t) = probabilité de queue gauche

Probabilité de queue gauche utilisée	0,975
Interprétation	F(t) = P(T ≤ t) = 0,975

Ce que fait ce calculateur

Cet outil calcule le point de pourcentage (également appelé quantile, valeur critique ou fonction de répartition inverse) de la loi de Student. À partir d'une probabilité cumulée P et des degrés de liberté nu, il renvoie la valeur t pour laquelle l'aire sous la densité de Student jusqu'à t est égale à la probabilité choisie. Il s'agit de l'inverse de la fonction de répartition de la loi de Student, ce qui correspond à la fonction t.inv des tableurs. La loi de Student relève des mathématiques pures et universelles : elle s'applique de façon identique partout dans le monde.

The percentage point t is the value where the cumulative area under the t-distribution curve equals p.

Comment l'utiliser

Saisissez la probabilité cumulée P (strictement comprise entre 0 et 1), indiquez si P correspond à une aire à gauche (à gauche de t) ou à une aire à droite (à droite de t), puis entrez les degrés de liberté. En interne, le calculateur ramène toujours le calcul à une probabilité de queue gauche : pour une queue gauche, il utilise P tel quel ; pour une queue droite, il utilise 1 - P. Il résout ensuite l'équation pour obtenir t.

La formule expliquée

La fonction de répartition de la loi de Student à nu degrés de liberté s'écrit à l'aide de la fonction bêta incomplète régularisée I. Pour \(t \ge 0\), $$F(t) = 1 - 0{,}5 \cdot I_x\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right) \quad\text{avec}\quad x = \frac{\nu}{\nu + t^2}$$ pour \(t < 0\), on utilise l'expression symétrique $$F(t) = 0{,}5 \cdot I_x\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right).$$ La fonction bêta incomplète est évaluée grâce à l'approximation de Lanczos pour la fonction gamma et à l'algorithme classique des fractions continues. Comme F est strictement croissante, son inverse est obtenu par une méthode de dichotomie robuste.

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The t-distribution has heavier tails than the normal curve, narrowing toward it as degrees of freedom grow.

Exemple détaillé

Pour \(P = 0{,}975\), queue gauche, et \(\nu = 10\) degrés de liberté, le calculateur renvoie $$t \approx 2{,}228139$$ — la valeur critique bien connue, correspondant à un test bilatéral à 95 % (ou unilatéral à 97,5 %), que l'on retrouve dans les tables de Student. Le même résultat s'obtient avec \(P = 0{,}025\) en queue droite, puisqu'une aire de 2,5 % à droite équivaut à une aire de 97,5 % à gauche.

FAQ

Que se passe-t-il si je saisis \(P = 0\) ou \(P = 1\) ? Le point de pourcentage n'est pas défini : il diverge vers moins l'infini ou plus l'infini, et le calculateur signale donc une erreur.

Que devient le résultat lorsque les degrés de liberté augmentent fortement ? La loi de Student se rapproche de la loi normale centrée réduite ; ainsi, pour de très grandes valeurs de nu, le quantile tend vers celui de la loi normale (par exemple, \(P = 0{,}975\) donne environ \(1{,}95996\)).

nu peut-il être un nombre non entier ? Oui. Toute valeur \(\nu > 0\) est acceptée, y compris des valeurs fractionnaires.